已知正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为a，求平面A₁BC₁和平面ACD₁的距离．

已知：四面体ABCD的各棱长都为a，E是AD边的中点，连结CE．求：CE与底面BCD所成的角的正弦值．

如下图，线段两端点在平面α的同侧，斜线AM、BN与α分别成30°、60°角，且AM⊥AB，BN⊥AB，AM＝6，BN＝，AB＝6．

(1)求证：AB∥α；

(2)求MN的长．

已知Rt△ABC的斜边AB在平面α内，AC和BC与α所成的角分别为30°、45°，CD是斜边AB上的高，求CD与平面α所成的角．

在棱长为a的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱AB、BC的中点，若点M为棱B₁B上的一点，当的值为多少时，能使D₁M⊥平面EFB₁？并给出证明．

如下图所示，已知正方形ABCD的边长是13，平面ABCD外一点P到正方形各顶点的距离都为13，M，N分别是PA，BD上的点，且PM∶MA＝BN∶ND＝5∶8．

(1)求证直线MN∥平面PBC；

(2)求线段MN的长．

有一块木料如下图所示，已知棱BC平行于平面．要经过木料表面内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？所画的线和平面AC有什么关系？

如下图，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面边长为2，点E、F分别是棱CC₁、BB₁上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2．

问当点M在何位置时，MB∥平面AEF？请给出证明．

如下图所示，A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝a．求线段MN的长．

长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁(如下图所示)，宽、长、高分别为3、4、5，现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C₁来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值．