设a₁＝2i－j＋k，a₂＝i＋3j－2k，a₃＝－2i＋j－3k，a₄＝3i＋2j＋5k，试问是否存在实数λ、μ、v，使a₄＝λa₁＋μa₂＋va₃成立？如果存在，求出λ、μ、v；如果不存在，请给出证明．

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD．且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．

(1)求证：PB⊥DM；

(2)求CD与平面ADMN所成的角．

如图，在棱长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP＝m．

(1)试确定m，使得直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3；

(2)在线段A₁C₁上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，并证明你的结论．

如图α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A₁，点B在l上的射影为B₁，已知AB＝2，AA₁＝1，BB₁＝，求：

(1)直线AB分别与平面α，β所成角的大小；

(2)二面角A₁－AB－B₁的大小．

如图，已知正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝2，AA₁＝4，E为BC的中点，F为直线CC₁上的动点，设＝λ．

(1)当λ＝3时，求EF与平面ABCD所成的角；

(2)当λ＝1时，求二面角F－DE－C的大小(用反三角函数表示)；

(3)当λ为何值时，有BD₁⊥EF？

已知：如下图△ABC是边长为2的等边三角形，PC⊥面ABC，且PC＝2，D是AP上一动点，

(1)D在运动过程中，是否有可能使得AP⊥面BCD？请说明理由；

(2)若D是AP的中点，求：

①异面直线CD与PB所成的角；

②直线BD与面PBC所成的角．

如下图，已知三棱锥P－ABC在某个空间直角坐标系中，＝(，m，0)，＝(0，2m，0)，＝(0，0，2n)．

(1)画出这个空间直角坐标系，并指出与Ox的轴的正方向的夹角；

(2)求证：⊥；

(3)若M为BC的中点，n＝m，求直线AM与平面PBC所成角的大小．

如图所示的正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁∶AB＝2∶1，E、F分别为面A₁C₁和面BC₁的中心．求

(1)异面直线CE与AF所成的角；

(2)A₁F与平面BCC₁B₁所成的角；

(3)二面角B－A₁C₁－C的大小．

已知正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中平面AB₁D₁与A₁BD所成的角为(0°≤≤90°)，求cos的值．

如下图，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，

(1)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值；

(2)求SC与平面ABCD所成的角的余弦值．