如图，已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别为F₁和F₂，椭圆C与x轴的两交点分别为A、B，点P是椭圆上一点(不与点A、B重合)，且∠APB＝2a，∠F₁PF₂＝2β．

(Ⅰ)若β＝45°，三角形F₁PF₂的面积为36，求椭圆C的方程；

(Ⅱ)当点P在椭圆C上运动时，试证明tanβ·tan2a是定值．

已知a∈R，函数(x∈R)．

(Ⅰ)当a＝1时，求函数f(x)的单调递增区间；

(Ⅱ)函数f(x)是否在R上单调递减，若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由；

(Ⅲ)若函数f(x)在[－1，1]上单调递增，求a的取值范围．

如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，点F为PC的中点．

(Ⅰ)求证：PA∥平面BFD；

(Ⅱ)求证：平面PAC⊥平面BDF．

如图，已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别为F₁和F₂，椭圆C与x轴的两交点分别为A、B，点P是椭圆上一点(不与点A、B重合)，且∠APB＝2a，∠F₁PF₂＝2β．

(Ⅰ)若β＝45°，三角形F₁PF₂的面积为36，求椭圆C的方程；

(Ⅱ)当点P在椭圆C上运动，试证明tanβ·tan2a为定值．

已知a∈R，函数f(x)＝(－x²＋ax)e^x(x∈R，e为自然对数的底数)．

(Ⅰ)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；

(Ⅱ)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求a的取值范围；

(Ⅲ)函数f(x)是否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由．

如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点．

(Ⅰ)求证：PA∥平面BFD；

(Ⅱ)求二面角C－BF－D的正切值．

已知点的序列A_n(x_n，0)，n∈N^*，其中x₁＝0，x₂＝a(a＞0)，A₃是线段A₁A₂的中点，A₄的线段A₂A₃的中点，…，A_n是线段A_n－2A_n－1的中点，…

(1)写出x_n与x_n－1、x_n－2之间的关系式(n≥3)；

(2)设a_n＝x_n+1－x_n，计算a₁，a₂，a₃，由此推测数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．