如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD＝AA₁＝3，AB＝，E、F分别为AB和A₁D的中点．

(1)求证：AF∥平面A₁EC；

(2)求A₁C与底面ABCD所成角的正切值；

(3)求二面角A₁―EC―D的正切值．

一个盒子中装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域均为R的函数：f₁(x)＝x，f₂(x)＝x²，f₃(x)＝x³，f₄(x)＝sin4x，f₅(x)＝cos5x，f₆(x)＝6．

(1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新函数，求所得函数为奇函数的概率；

(2)现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行．求抽取次数ξ的分布列和数学期望．

已知向量＝()，＝()，＝(－1，0)，＝(0，1)．

(1)求证：⊥(＋)(其中≠kπ)；

(2)设f()＝·(－)，且∈(0，π)，求f()的值域．

设f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且当－1≤x＜0时f(x)＝2x³＋5ax²＋4a²x＋b．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)当1＜a≤3时，求函数f(x)在(0，1]上的最大值g(a)；

(3)如果对满足1＜a≤3的一切实数a，函数f(x)在(0，1]上恒有f(x)≤0，求实数b的取值范围．

已知数列{a_n}的首项，前n项和S_n＝n²a_n(n≥1)．

(1)求数列{a_n}的通项a_n；

(2)记b_n＝lnS_n，T_n为数列{b_n}的前n项和，求证：_＝n＋1．

已知函数f(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)，不等式f(x)＞0的解集为(－)，且曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为－1．

(1)求f(x)的解析式；

(2)已知x₁，x₂是任意实数，P＝f(x₁)＋f(x₂)，，试比较P与Q的大小，并加以证明．

甲、乙两个盒子中装有大小相同的小球，甲盒中有2个黑球和2个红球，乙盒中有2个黑球和3个红球，从甲乙两盒中各任取一球交换．

①求交换后甲盒中恰有2个黑球的概率；

②求交换后甲盒中的黑球没有减少的概率．

已知集合，集合N＝{x|mx²－x＞0}，若，求实数m的取值范围．

已知a∈R，函数f(x)＝ae^x是定义在R上的单调递增函数，f^－1(x)是它的反函数．

(1)求曲线y＝f(x)和y＝f^－1(x)的斜率为1的切线方程；

(2)设点P，Q分别是两曲线y＝f(x)，y＝f^－1(x)上的任意一点，求|PQ|上的最小值；

(3)设点A、B分别是两曲线y＝f(x)，y＝f^－1(x)与坐标轴的交点，且|AB|是分别在两条曲线上的点连成线段长的最小值，求不等式恒成立时实数m的取值范围．

已知数列{a_n}的首项a₁＝，前n项和S_n＝n²a_n(n≥1)．

(1)求数列{a_n}的通项a_n；

(2)记b₁＝0，b_n＝(n≥2)，T_n为数列{b_n}的前n项和，求证：0≤T_n＜n－．