已知函数．

(Ⅰ)若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；

(Ⅱ)求f(x)的单调区间；

(Ⅲ)设g(x)＋x²－2x，若对任意x₁∈(0，2]，均存在x₂∈(0，2]，使得f(x₁)＜g(x₂)，求a的取值范围．

已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．

数列{a_n}中，a₁＝8，a₄＝2，满足a_n＋2＝2_a＋1－a_n，n∈N^*．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设b_n＝，求最大的整数m，使得对任意n∈N^*，均有成立．

如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝1，AC＝AA₁＝，∠ABC＝60°．

(Ⅰ)证明：AB⊥A₁C；

(Ⅱ)求二面角A－A₁C－B的余弦值．

已知动点M到点F(1，0)的距离等于它到直线x＝－1的距离．

(1)求点M的轨迹C的方程；

(2)过点F任意作互相垂直的两条直线l₁，l₂，分别交曲线C于点A，B和M，N．

设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点．

长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝，AB＝BC＝2，O是底面对角线的交点．

(1)求证：A₁O⊥平面BC₁D；

(2)求三棱锥A₁－DBC₁的体积．

已知数列{a_n}是等差数列，a₂＝4，a₅＝10；数列{b_n}的前n项和是T_n，且T_n＋b_n＝1．

(1)求证：数列{b_n}是等比数列；

(2)记c_n＝a_n·b_n，求{c_n}的前n项和S_n．

已知函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对任意的正实数x，y，均有f(xy)＝f(x)＋f(y)恒成立，已知f(2)＝1，且当x＞1时，f(x)＞0

(1)求的值，并判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性(说明理由)

(2)一个各项均为正数的数列{a_n}，它的前n项和是S_n，若a₁＝3，且f(s_n)＝f(a_n)＋f(a_n＋1)－1(n≥2，n∈N^*)，求数列{a_n}的通项公式．

(3)在(2)的条件下，是否存在实数M，使对一切正整数n均成立，若存在，求出M的范围，否则，请说明理由．

已知椭圆的一个顶点A(0，－1)，焦点在x轴上，其右焦点到直线的距离为3，①求椭圆的标准方程；②椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同两点M、N，当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．

已知f(x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)，

①判断函数f(x)的单调性；

②若，g(x)＝a^2x＋a^－2x－2mg(x)在[1，＋∞)的最小值为－2，求实数m的值．