选修4－5：不等式选讲

已知a，b，c∈R⁺，且a＋b＋c＝1，求证：≥8．

如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，E、F分别是A₁B、A₁C的中点，点D在B₁C₁上，A₁D⊥B₁C．

求证：(1)EF∥平面ABC；

(2)平面A₁FD⊥平面BB₁C₁C．

对于数列{λ_n}，若存在常数M＞0，对任意n∈N⁺，恒有|λ_n+1－λ_n|＋|λ_n－λ_n－1|＋…＋|λ₂－λ₁|≤M，则称数列{λ_n}为数列．

求证：(1)设S_n是数列{a_n}的前n项和，若{S_n}是数列，则{a_n}也是数列．

(2)若数列{a_n}，{b_n}都是数列，则{a_nb_n}也是数列．

选修4－1：几何证明选讲

如图，已知△ABC，过顶点A的圆与边BC切于BC的中点P，与边AB，AC分别交于点M，N，且CN＝2BM，点N平分AC．求证：AM＝7BM．

如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C中，E、F分别是A₁B、A₁C的中点，点D在B₁C上，A₁D⊥B₁C．

求证：(1)EF∥平面ABC；

(2)平面A₁FD⊥平面BB₁C₁C．

选修4－5：不等式选讲

已知|x₁－2|＜1，|x₂－2|＜1．

(1)求证：2＜x₁＋x₂＜6，|x₁－x₂|＜2；

(2)若f(x)＝x²－x＋1，求证：|x₁－x₂|＜|f(x₁)－f(x₂)|＜5|x₁－x₂|．

选修4－5：不等式选讲

已知|x₁－2|＜1，|x₂－2|＜1．

(1)求证：2＜x₁＋x₂＜6，|x₁－x₂|＜2；

(2)若f(x)＝x²－x＋1，求证：|x₁－x₂|＜|f(x₁)－f(x₂)|＜5|x₁－x₂|．

如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，点E是PD的中点．

(1)求证：AC⊥PB；

(2)求证：PB∥平面AEC；

如图，⊙O内切ΔABC的边于D、E、F，AB＝AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G．

(1)证明：圆心O在直线AD上；

(2)证明：点C是线段GD的中点．

在△ABC中，AB＝AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D

(1)求证：；

(2)求证：AP·AD＝AB·AC．