某地需要修建一条大型输油管道通过240公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的工程费用为400万元，铺设距离为公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为万元．设余下工程的总费用为万元．
(1)试将表示成的函数；
(2)需要修建多少个增压站才能使最小，其最小值为多少？

某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元。为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高.
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？

某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为，圆心角为（弧度）．
（1）求关于的函数关系式；
（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？

已知函数，函数.
⑴当时，函数的图象与函数的图象有公共点，求实数的最大值；
⑵当时，试判断函数的图象与函数的图象的公共点的个数；
⑶函数的图象能否恒在函数的上方？若能，求出的取值范围；若不能，请说明理由．

已知函数（为实数，），，⑴若，且函数的值域为，求的表达式；
⑵设，且函数为偶函数，求证：.

已知函数在上是增函数.
⑴求实数的取值范围；
⑵当为中最小值时，定义数列满足：，且，
用数学归纳法证明，并判断与的大小.

某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形休闲区A₁B₁C₁D₁和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A₁B₁C₁D₁的面积为4000m²，人行道的宽分别为4m和10m(如图所示)．
(1)若设休闲区的长和宽的比，求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式；
(2)要使公园所占面积最小，休闲区A₁B₁C₁D₁的长和宽应如何设计?

某市环保部门对市中心每天环境污染情况进行调查研究，发现一天中环境污染指数与时刻（时）的关系为，，其中是与气象有关的参数，且，用每天的最大值作为当天的污染指数，记作.
(1)令，，求的取值范围；
(2)按规定，每天的污染指数不得超过2，问目前市中心的污染指数是否超标？

是否存在实数，使得的最大值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

某种商品，现在定价p元，每月卖出n件，设定价上涨x成，每月卖出数量减少y成，每月售货总金额变成现在的z倍．
(1)用x和y表示z；
(2)设x与y满足y＝kx(0<k<1)，利用k表示当每月售货总金额最大时x的值；
(3)若y＝x，求使每月售货总金额有所增加的x值的范围．