设 
（Ⅰ）当，解不等式；
（Ⅱ）当时，若，使得不等式成立，求实数的取值范围．

已知函数的定义域为，且同时满足以下三个条件：①；②对任意的，都有；③当时总有．
（1）试求的值；
（2）求的最大值；
（3）证明：当时，恒有．

某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）.当年产量不小于80千件时，（万元）.每件商品售价为500元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

已知函数，.
（Ⅰ）已知，若，求的值；
（Ⅱ）设，当时，求在上的最小值；
（Ⅲ）求函数在区间上的最大值.

在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）,火箭（除燃料外）的质量（单位：）满足.（为自然对数的底）
（Ⅰ）当燃料质量为火箭（除燃料外）质量两倍时，求火箭的最大速度（单位：）；
（Ⅱ）当燃料质量为火箭（除燃料外）质量多少倍时，火箭的最大速度可以达到8.（结果精确到个位，数据：）

已知二次函数的图像顶点为，且图像在轴截得的线段长为6.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若在区间上单调，求的范围.

如图所示，是一个矩形花坛，其中AB= 4米，AD = 3米．现将矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求：B在上，D在上，对角线过C点， 且矩形的面积小于64平方米．

（Ⅰ）设长为米，矩形的面积为平方米，试用解析式将表示成的函数，并写出该函数的定义域；
（Ⅱ）当的长度是多少时，矩形的面积最小?并求最小面积．

如图所示，是一个矩形花坛，其中AB=4米，AD=3米．现将矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求：B在上，D在上，对角线过C点，且矩形的面积小于64平方米．

（Ⅰ）设长为米，矩形的面积为平方米，试用解析式将表示成的函数，并写出该函数的定义域；
（Ⅱ）当的长度是多少时，矩形的面积最小?并求最小面积．

若不等式对一切恒成立，试确定实数的取值范围．

已知函数（是常数且）
（1）若函数的一个零点是1，求的值；
（2）求在上的最小值；
（3）记若，求实数的取值范围。