设等差数列的前项和为，已知，.
（1）求；
（2）若从中抽取一个公比为的等比数列，其中，且，.
①当取最小值时，求的通项公式；
②若关于的不等式有解，试求的值.

数列、的每一项都是正数,,,且、、成等差数列,、、成等比数列,.
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）求数列、的通项公式；
（Ⅲ）证明:对一切正整数,有.

数列、的每一项都是正数,,,且、、成等差数列,、、成等比数列,.
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）求数列、的通项公式；
（Ⅲ）记，证明：对一切正整数，有.

已知{a_n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a₃a₅=45，a₂+a₆=14．
（I）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：…，求{b_n}的前n项和．

已知数列满足，，，是数列 的前项和．
（1）若数列为等差数列．
①求数列的通项；
②若数列满足，数列满足，试比较数列 前项和与前项和的大小；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．

已知数列中，，．
（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）设，，试比较与的大小．

在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为，且A，B，C成等差数列，成等比数列，求证ABC为等边三角形.

设正数列的前项和为，且．
(1)求数列的首项；
(2)求数列的通项公式；
(3)设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数．

已知等比数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和．

已知数列是公差不为零的等差数列，，且是和的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，，试问当为何值时，最大？并求出的最大值．