下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为.
          
图1            图2                图3                        图4
（1）求出,,,;
（2）找出与的关系，并求出的表达式；
（3）求证：().

在数列中，已知（.
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）求数列的前项和.

数列中，，（是不为零的常数，），且成等比数列． 
(1)求的值；
(2)求的通项公式；  (3)若数列的前n项之和为，求证∈。

设S_n为等差数列{a _n}的前n项和，已知a ₉ =－2，S ₈ =2.
（1）求首项a₁和公差d的值；
（2）当n为何值时，S_n最大？并求出S_n的最大值.

在数列中，，点在直线上．
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)记，求数列的前n项和.

已知数列满足（为常数），成等差数列.
（Ⅰ）求p的值及数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，证明：.

在等差数列中，，，记数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数、，且，使得、、成等比数列？若存在，求出所有符合条件的、的值；若不存在，请说明理由．

已知等差数列{a_n}的前n项和为 S_n
(I)若a₁=1，S₁₀= 100，求{a_n}的通项公式;
(II)若S_n=n²-6n，解关于n的不等式S_n+a_n>2n

已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且成等比数列.（1） 求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：.

设，，Q=；若将，lgQ，lgP适当排序后可构成公差为1的等差数列的前三项.
（1）试比较M、P、Q的大小；
（2）求的值及的通项；
（3）记函数的图象在轴上截得的线段长为，
设，求，并证明.