已知数列的首项，是的前项和，且．
（1）若记，求数列的通项公式；
（2）记，证明：，．

已知数列{a_n}的前n项和为，,满足，
（1）求的值；
（2）猜想的表达式．

已知数列{}满足+=2n+1 （）
（1）求出，，的值；
（2）由（1）猜想出数列{}的通项公式，并用数学归纳法证明．

已知数列的前项和为满足，且.
（1）试求出的值；
（2）根据的值猜想出关于的表达式，并用数学归纳法证明你的结论.

已知等比数列的各项均为正数，且  
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和 ；
（3）在(2)的条件下，求使恒成立的实数的取值范围．

某校高一学生1000人，每周一次同时在两个可容纳600人的会议室，开设“音乐欣赏”与“美术鉴赏”的校本课程．要求每个学生都参加，要求第一次听“音乐欣赏”课的人数为，其余的人听“美术鉴赏”课；从第二次起，学生可从两个课中自由选择．据往届经验，凡是这一次选择“音乐欣赏”的学生，下一次会有20﹪改选“美术鉴赏”，而选“美术鉴赏”的学生，下次会有30﹪改选“音乐欣赏”，用分别表示在第次选“音乐欣赏”课的人数和选“美术鉴赏”课的人数．
(1)若，分别求出第二次,第三次选“音乐欣赏”课的人数；
(2)①证明数列是等比数列，并用表示；
②若要求前十次参加“音乐欣赏”课的学生的总人次不超过5800，求的取值范围．

给定数列
(1)判断是否为有理数,证明你的结论;
(2)是否存在常数.使对都成立? 若存在,找出的一个值, 并加以证明; 若不存在,说明理由.

（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.
已知数列满足.
（1）若，求的取值范围；
（2）若是等比数列，且，正整数的最小值，以及取最小值时相应的仅比；
（3）若成等差数列，求数列的公差的取值范围.

设数列的前项和为，满足，，且.
（1）求、、的值；
（2）求数列的通项公式.

设
（1）若，求及数列的通项公式；
（2）若，问：是否存在实数使得对所有成立？证明你的结论.