设函数 
（Ⅰ）证明对每一个，存在唯一的，满足；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的构成数列，判断数列的单调性并证明；
（Ⅲ）对任意，满足（Ⅰ），试比较与的大小.

已知函数同时满足：①不等式 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立 设数列的前项和为
（1）求数列的通项公式；
（2）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数，令（为正整数），求数列的变号数

等差数列{a_m}的前m项和为S_m，已知S₃=，且S₁，S₂，S₄成等比数列，
（1）求数列{a_m}的通项公式.
（2）若{a_m}又是等比数列，令b_m= ，求数列{b_m}的前m项和T_m.

对于任意的（不超过数列的项数），若数列的前项和等于该数列的前项之积，则称该数列为型数列。
（1）若数列是首项的型数列，求的值；
（2）证明：任何项数不小于3的递增的正整数列都不是型数列；
（3）若数列是型数列，且试求与的递推关系，并证明对恒成立。

已知等比数列 的所有项均为正数，首项且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列的前项和为若求实数的值.

设数列满足， 
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)令，求数列的前项和．

已知正项数列的前项和为，是与的等比中项.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，且，求数列的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若，求数列的前项和.

已知等差数列的前项和为，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和.

已知数列的前项和为，若，
⑴证明数列为等差数列，并求其通项公式；
⑵令，①当为何正整数值时，：②若对一切正整数，总有，求的取值范围.

等比数列的前n项和，已知对任意的,点均在函数的图像上.
（1）求r的值.
(2)当b=2时，记，求数列的前n项和.