（本题满分12分）设正项数列的前项和，且满足.
（Ⅰ）计算的值，猜想的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）设是数列的前项和，证明：.

已知函数,为正整数.
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)数列的通项公式为(),求数列的前项和;
(Ⅲ)设数列满足:,,设,若(Ⅱ)中的满足：对任意不小于3的正整数n,恒成立,试求m的最大值.

已知数列{a_n}的前n项和为
(Ⅰ)求数列{a_n}的通项公式;
(Ⅱ)若，求数列{C_n}的前n项和T_n

设数列的前项和为，且方程有一个根为，．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设方程的另一个根为，数列的前项和为，求的值；
（3）是否存在不同的正整数，使得，，成等比数列，若存在，求出满足条件的，若不存在，请说明理由．

已知二次函数，且不等式对任意的实数恒成立，数列满足，.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）求证.

已知数列中，，前项的和为，对任意的，，，总成等差数列.
（1）求的值并猜想数列的通项公式
（2）证明：.

对任意都有
（Ⅰ）求和的值．
（Ⅱ）数列满足：=+，数列是等差数列吗？请给予证明；
（Ⅲ）令试比较与的大小．

已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，，求证： <4

已知数列{}满足=1，=，（1）计算，，的值；（2）归纳推测，并用数学归纳法证明你的推测．

下图是一个按照某种规律排列出来的三角形数阵

假设第行的第二个数为
（1）依次写出第七行的所有7个数字(不必说明理由);
（2）写出与的递推关系(不必证明),并求出的通项公式.