如图，在四棱锥中，平面平面，，，，是中点，是中点.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积.

在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝BC＝CA＝AA₁＝2，侧棱AA₁⊥面ABC，D、E分别是棱A₁B₁、AA₁的中点，点F在棱AB上，且．

（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求二面角E－BC₁－D的余弦值．

如图,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，底面,且PA=AB.

（1）求证：BD平面PAC；
（2）求异面直线BC与PD所成的角.

如图（1），是等腰直角三角形，其中，分别为的中点，将沿折起，点的位置变为点，已知点在平面上的射影为的中点，如图（2）所示．

（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积．

AB为圆O的直径，点E、F在圆上，AB//EF，矩形ABCD所在平面与圆O所在平面互相垂直，已知AB=2，BC=EF=1。

（I）求证：BF⊥平面DAF；
（II）求多面体ABCDFE的体积。

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.

(Ⅰ) 证明：PA⊥BD；
(Ⅱ) 若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

如图，直三棱柱，，点M，N分别为和的中点．

(Ⅰ)证明：∥平面；
(Ⅱ)若二面角A为直二面角，求的值．

如图所示，在三棱锥PABC中，已知PC⊥平面ABC，点C在平面PBA内的射影D在直线PB上．

(1)求证：AB⊥平面PBC；
(2)设AB＝BC，直线PA与平面ABC所成的角为45°，求异面直线AP与BC所成的角；
(3)在(2)的条件下，求二面角C-PA-B的余弦值．

如图，已知平面，平面，△为等边三角形，，为的中点．

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求直线和平面所成角的正弦值．

在直三棱柱中,平面,其垂足落在直线上.

(1)求证:；
(2)若,,为的中点,求三棱锥的体积.