已知是椭圆上两点，点的坐标为.
（1）当关于点对称时，求证：；
（2）当直线经过点时，求证：不可能为等边三角形.

如图，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过且于x轴垂直的直线与椭圆交于S,T，与抛物线交于C，D两点，且

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P为椭圆上一点，若过点M(2,0)的直线与椭圆相交于不同两点A和B，且满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围.

椭圆的方程为，离心率为，且短轴一端点和两焦点构成的三角形面积为1，抛物线的方程为，抛物线的焦点F与椭圆的一个顶点重合.
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）过点F的直线交抛物线于不同两点A,B，交y轴于点N，已知的值.
（3）直线交椭圆于不同两点P,Q，P,Q在x轴上的射影分别为P′,Q′，满足(O为原点)，若点S满足，判定点S是否在椭圆上，并说明理由.

已知椭圆的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且，的面积为1（其中为坐标原点）.
（1）求椭圆的方程；
（2）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足，连结CM，交椭圆于点，证明：为定值；
（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

如图所示，已知、、是长轴长为的椭圆上的三点，点是长轴的一个端点，过椭圆中心，且，．

（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上是否存点，使得？若存在，有几个（不必求出点的坐标），若不存在，请说明理由；
（3）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条线，切点分别为、，，若直线 在轴、轴上的截距分别为、，证明：为定值.

（1）已知定点、，动点N满足（O为坐标原点），，，，求点P的轨迹方程.
（2）如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，点在椭圆上，且异于点，直线与直线分别交于点，

（ⅰ）设直线的斜率分别为、，求证：为定值；
（ⅱ）当点运动时，以为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．

如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，|BC|＝2|AC|．

(1)求椭圆E的方程；
(2)在椭圆E上是否存点Q，使得？若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由．
（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值．

如图，

已知椭圆E:的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交
椭圆E于A,B两点，线段AB的中点为M,直线：交椭圆E于C,D两点.
（1）求椭圆E的方程；
（2）求证：点M在直线上；
（3）是否存在实数，使得四边形AOBC为平行四边形?若存在求出的值，若不存在说明理
由.

如图，已知椭圆E:的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交椭圆E于A,B两点，线段AB的中点为M,直线：交椭圆E于C,D两点.

（1）求椭圆E的方程；
（2）求证：点M在直线上；
（3）是否存在实数k,使得三角形BDM的面积是三角形ACM的3倍？若存在，求出k的值；
若不存在，说明理由.

如图，已知点为椭圆右焦点，圆与椭圆的一个公共点为，且直线与圆相切于点.

（1）求的值及椭圆的标准方程；
（2）设动点满足，其中M、N是椭圆上的点，为原点，直线OM与ON的斜率之积为，求证：为定值.