已知椭圆的焦点在轴上，离心率，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）斜率为的直线与椭圆相交于两点，求证：直线与的倾斜角互补.

已知椭圆的两个焦点分别为,且,点在椭圆上,且的周长为6.
(I)求椭圆的方程;
(II)若点的坐标为,不过原点的直线与椭圆相交于两点,设线段的中点为,点到直线的距离为,且三点共线.求的最大值.

如图，椭圆的左顶点为，是椭圆上异于点的任意一点，点与点关于点对称．
（Ⅰ）若点的坐标为，求的值；
（Ⅱ）若椭圆上存在点，使得，求的取值范围．

已知椭圆C:的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为的菱形的四个顶点.
(I)求椭圆C的方程；
(II)若直线y =kx交椭圆C于A，B两点，在直线l:x+y-3=0上存在点P,使得 ΔPAB为等边三角形,求k的值.

已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为的菱形的四个顶点.
（I）求椭圆的方程；
（II）直线与椭圆交于，两点，且线段的垂直平分线经过点，求（为原点）面积的最大值.

如图，A,B是椭圆的两个顶点, ，直线AB的斜率为．求椭圆的方程；（2）设直线平行于AB，与x,y轴分别交于点M、N，与椭圆相交于C、D，
证明：的面积等于的面积．

在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点．已知△为等腰三角形．（1）求椭圆的离心率；（2）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．

已知抛物线与双曲线有公共焦点，点是曲线在第一象限的交点，且．
（1）求双曲线的方程；
（2）以双曲线的另一焦点为圆心的圆与直线相切，圆：．过点作互相垂直且分别与圆、圆相交的直线和，设被圆截得的弦长为，被圆截得的弦长为，问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

已知椭圆：的离心率为，左焦点为. 
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与曲线交于不同的、两点，且线段的中点在圆 上，求的值.

已知椭圆：的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，
线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；
（Ⅲ）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足，求的取值范围.