如图所示将若干个点摆成三角形，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中总的点数记为，则_______.

观察下列等式:

照此规律， 第n个等式可为           

观察下列等式：，根据上述规律，第五个等式为.

平面内有条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，当时把平面分成的区域数记为,则时     .

下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：

设第个图有个树枝，则与之间的关系是　　　　．

已知，不等式，，，…，可推广为，则等于           .

在计算“1×2+2×3+...+n（n+1）”时，某同学学到了如下一种方法：
先改写第k项：k（k+1）=
由此得1×2-.
.
.............
.
相加，得1×2+2×3+...+n（n+1）.
类比上述方法，请你计算“1×2×3×4+2×3×4×+....+”，
其结果是_________________.（结果写出关于的一次因式的积的形式）

在计算“1×2+2×3+...+n（n+1）”时，某同学学到了如下一种方法：
先改写第k项：k（k+1）=
由此得1×2=.
.
.............
.
相加，得1×2+2×3+...+n（n+1）.
类比上述方法，请你计算“1×2×3×4+2×3×4×+....+”，其结果是_________________.（结果写出关于的一次因式的积的形式）

定义函数，其中表示不小于的最小整数，如，．当（）时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则________________．

已知表示不超过的最大整数，例如，.设函数，当时，函数的值域为集合，则中的元素个数为.