科目： 来源：不详 题型：解答题

已知在数列中，（）.
（I）若q =2，d = -1，，求a₃，a₄，并猜测a₂₀₀₆；
（II）若是等比数列，且是等差数列，求q, d满足的条件．

科目： 来源：不详 题型：解答题

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=na_n+a_n—c(c是常数，n∈N^*)，a₂=6．
(Ⅰ)求c的值及{a_n}的通项公式；
(Ⅱ)证明：

科目： 来源：不详 题型：填空题

如图，一条螺旋线是用以下方法画成：ΔABC是边长为1的正三角形，曲线CA₁，A₁A₂，A₂A₃分别以A、B、C为圆心，AC、BA₁、CA₂为半径画的弧，曲线CA₁A₂A₃称为螺旋线旋转一圈．然后又以A为圆心AA₃为半径画弧，这样画到第n圈，则所得螺旋线的长度_____________．(用π表示即可)

科目： 来源：不详 题型：解答题

已知等差数列的公差，对任意，都有．
（I）求证：对任意，所有方程均有一个相同的实数根；
（II）若，方程的另一不同根为，，求数列的前n项和．

科目： 来源：不详 题型：解答题

等差数列中，，前项和为，等比数列各项均为正数，，且，的公比
（1）求与；
（2）求

科目： 来源：不详 题型：解答题

已知数集具有性质；对任意的
，与两数中至少有一个属于。
（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
（Ⅱ）证明：，且；
（Ⅲ）证明：当时，成等比数列。

科目： 来源：不详 题型：解答题

已知数列满足：且
．
（Ⅰ）求，，，的值及数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和；

科目： 来源：不详 题型：解答题

设，令，，又，．
（Ⅰ）判断数列是等差数列还是等比数列并证明；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）求数列的前项和．

科目： 来源：不详 题型：解答题

已知动圆Q经过点A,且与直线相切，动圆圆心Q的轨迹为曲线C，过定点作与y轴平行的直线且和曲线C相交于点M₁,然后过点M₁作C的切线和x轴交于点,再过作与y轴平行的直线且和C相交于点M₂,又过点M₂作C的切线和x轴交于点,如此继续下去直至无穷，记△的面积为
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）试求的值。

科目： 来源：不详 题型：解答题

在平面直角坐标系上，设不等式组（）
所表示的平面区域为，记内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为.
（Ⅰ）求并猜想的表达式再用数学归纳法加以证明；
（Ⅱ）设数列的前项和为，数列的前项和,是否存在自然数m？使得对一切，恒成立。若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。