科目： 来源：不详 题型：解答题

如图四棱柱ABCD-A′B′C′D′的底面是正方形，O是底面的中心，A′O=1，AB=AA′=A′D=A′B=

2

．
（1）证明：平面A′BD∥平面B′CD′；
（2）求二面角A-BC-B′的余弦值．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，矩形ABCD中，AB=a，AD=b，过点D作DE⊥AC于E，交直线AB于F．现将△ACD沿对角线AC折起到△PAC的位置，使二面角P-AC-B的大小为60°．过P作PH⊥EF于H．
（I）求证：PH⊥平面ABC；
（Ⅱ）若a=

2

b，求直线DP与平面PBC所成角的大小；
（Ⅲ）若a+b=2，求四面体P-ABC体积的最大值．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，E是BC中点．
（I）求证：A₁B∥平面AEC₁；
（II）若棱AA₁上存在一点M，满足B₁M⊥C₁E，求AM的长；
（Ⅲ）求平面AEC₁与平面ABB₁A₁所成锐二面角的余弦值．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF-90°，BE∥CF，CE⊥EF，AD=

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，EF=2．
（1）求异面直线AD与EF所成的角；
（2）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为45°？

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC上的点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A′．
（1）△A′EF恰好是正三角形且Q是A′F的中点，求证：EQ⊥平面A′FD
（2）当E、F分别是AB、BC的中点时，求二面角A′-EF-D的正弦值．

科目： 来源：不详 题型：解答题

已知直四棱柱ABCD-A′B′C′D′，四边形ABCD为正方形，AA′=2AB=2，E为棱CC′的中点．
（Ⅰ）求证：A′E⊥平面BDE；
（Ⅱ）设F为AD中点，G为棱BB′上一点，且BG=

1

4

BB′，求证：FG∥平面BDE；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下求二面角G-DE-B的余弦值．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，E为棱CC₁的中点，已知AB=

2

，BB₁=2，BC=1．
（1）证明：BE是异面直线AB与EB₁的公垂线；
（2）求二面角A-EB₁-A₁的大小；
（3）求点A₁到面AEB₁的距离．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁=BC=2，且M是BC的中点，点N在CC₁上．
（1）试确定点N的位置，使AB₁⊥MN；
（2）当AB₁⊥MN时，求二面角M-AB₁-N的大小．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=1，点P在平面BCC₁B₁内，PB1=PC1=

2

．
（1）求证：PA₁⊥BC；
（2）求二面角C₁-PA₁-A．

科目： 来源：不详 题型：解答题

一个四棱锥P一ABCD的正视图是边长为2的正方形及其一条对角线，侧视图和俯视图全全等的等腰直角三角形，直角边长为2，直观图如图．
（1）求四棱锥P一ABCD的体积：
（2）求二面角C-PB-A大小；
（3）M为棱PB上的点，当PM长为何值时，CM⊥PA？