科目： 来源：不详 题型：解答题

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是棱AB，BC上异于端点的点，
（1）证明△B₁MN不可能是直角三角形；
（2）如果M，N分别是棱AB，BC的中点，
（ⅰ）求证：平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D；
（ⅱ）若在棱BB₁上有一点P，使得B₁D∥面PMN，求B₁P与PB的比值．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点，
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求证：PA∥平面MBD；
（3）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

科目： 来源：不详 题型：填空题

如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF=

1

2

AD=a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为______．

科目： 来源：不详 题型：解答题

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=BB₁=1，AB₁=

3

（1）求证：平面AB₁C⊥平面B₁CB；
（2）求三棱锥A₁-AB₁C的体积．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD．请指出图中所有互相垂直的平面，并说明理由．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，PB=AB=2MA．求证：
（1）平面AMD∥平面BPC；
（2）平面PMD⊥平面PBD．

科目： 来源：不详 题型：解答题

已知某几何体的三视图如图所示，其中左视图是边长为2的正三角形，主视图是矩
形，且AA₁=3，设D为AA₁的中点．
（1）作出该几何体的直观图并求其体积；
（2）求证：平面BB₁C₁C⊥平面BDC₁；
（3）BC边上是否存在点P，使AP∥平面BDC₁？若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M是棱BC的中点，DM=2

2

．
（1）求证：OM∥平面ABD；
（2）求证：平面DOM⊥平面ABC；
（3）求三棱锥B-DOM的体积．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，在三棱锥P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．
（1）求证：平面PBC丄平面PAC
（2）已知PA=1，AB=2，当三棱锥P-ABC的体积最大时，求BC的长．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图所示，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，D是AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求证：平面BDA₁⊥平面ACC₁A₁．