如图所示，某城市有南北街道和东西街道各n+1条，一邮递员从该城市西北角的邮局A出发，送信到东南角B地，要求所走路程最短．
（1）求该邮递员途径C地的概率f（n）；
（2）求证：2＜[2f（n）]²ⁿ⁺¹＜3，（n∈N^*）．

【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21-1．（选修4-2：矩阵与变换）
设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
（1）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（2）求逆矩阵M^-1以及椭圆

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲线的方程．
21-2．（选修4-4：参数方程）
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为（4，

π

2

），若直线l过点P，且倾斜角为 

π

3

，圆C以M为圆心、4为半径．
（1）求直线l关于t的参数方程和圆C的极坐标方程；
（2）试判定直线l和圆C的位置关系．

已知函数f（x）=（mx+n）e^-x（m，n∈R，e是自然对数的底）
（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+ey-3=0，试确定函数f（x）的单调区间；
（2）①当n=-1，m∈R时，若对于任意x∈[

1

2

，2]，都有f（x）≥x恒成立，求实数m的最小值；
②当m=n=1时，设函数g（x）=xf（x）+tf'（x）+e^-x（t∈R），是否存在实数a，b，c∈[0，1]，使得g（a）+g（b）＜g（c）？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F₁，F₂，且圆C：x2+y2+

3

x-3y-6=0过A，F₂两点．
（1）求椭圆标准的方程；
（2）设直线PF₂的倾斜角为α，直线PF₁的倾斜角为β，当β-α=

2π

3

时，证明：点P在一定圆上；
（3）设椭圆的上顶点为Q，证明：PQ=PF₁+PF₂．

如图，正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB=2AE．
（1）求证：AB∥平面CDE；
（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．

设等比数列{a_n}满足公比q∈N^*，a_n∈N^*，且{a_n}中的任意两项之积也是该数列中的一项，若a₁=2⁸¹，则q的所有可能取值的集合为．

已知|AB|=3，C是线段AB上异于A，B的一点，△ADC，△BCE均为等边三角形，则△CDE的外接圆的半径的最小值是．

已知半椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1（y≥0，a＞b＞0）和半圆x²+y²=b²（y≤0）组成的曲线C如图所示．曲线C交x轴于点A，B，交y轴于点G，H，点M是半圆上异于A，B的任意一点，当点M位于点（

6

3

，-

3

3

）时，△AGM的面积最大，则半椭圆的方程为．

如图所示的“双塔”形立体建筑，已知P-ABD和Q-CBD是两个高相等的正三棱锥，四点A，B，C，D在同一平面内，要使塔尖P，Q之间的距离为50m，则底边AB的长为  m．