已知定点A（4，0）到等轴双曲线x²-y²=a²（a＞0）上的点的最近距离为

5

，求此双曲线的方程，并求此双曲线上到点A的距离为

5

的点的坐标．

已知过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，斜率为2

2

的直线交抛物线于A(x1，y2)，B(x2，y2)，且|AB|=

9

2

（1）求该抛物线的方程；
（2）在抛物线C上求一点D，使得点D直线y=x+3的距离最短．

若点O和点F分别为椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则

OP

•

FP

的取值范围．

求以椭圆

x2

9

+

y2

8

=1的焦点为焦点，且过(2， 

3

2

5

)点的双曲线的标准方程．

轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE（抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内），D为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x轴在地面上，助跑道一端点A（0，4），另一端点C（3，1），点B（2，0），单位：米．
（Ⅰ）求助跑道所在的抛物线方程；
（Ⅱ）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4米到6米之间（包括4米和6米），试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？
（注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值．）

已知椭圆C短轴的一个端点为（0，1），离心率为

2 2

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线y=x+m交椭圆C于A、B两点，若|AB|=

6 3

5

，求m．

某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC、BD是过抛物线Γ焦点F的两条弦，且其焦点F（0，1），

AC

•

BD

=0，点E为y轴上一点，记∠EFA=α，其中α为锐角．
（1）求抛物线Γ方程；
（2）求证：|AF|=

2(cosα+1)

sin2α

．