(本题满分15分) 已知数列中，是的前项和，且是与的等差中项，其中是不等于零的常数.

（1）求；

  （2）猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明．

（理科）在数列、中，，且成等差数列，成等比数列．

⑴求及，由此猜测、的通项公式，并用数学归纳法证明；

⑵证明：．

（本题满分14分）

已知数列的前项和为，通项公式为，.

（1）计算的值；

（2）比较与的大小，并用数学归纳法证明你的结论.

设…，则          .

(本题满分15分)已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N^*）.

（1）试求出S₁，S₂，S₃，S₄，并猜想S_n的表达式；                    (7分)

（2）用数学纳法证明你的猜想，并求出a_n的表达式.                  (8分)

用数学归纳法证明“当是31的倍数”时,从到 时需添加的项是____.

已知函数，对于，定义，则 

用数学归纳法证明：“”，

从第步到第步时，左边应加上     ▲      .

（Ⅰ）已知等差数列中，，，求证：；

（Ⅱ）类比（Ⅰ），在等比数列中，，，试写出关于的一个不等式，并给出证明.

用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是            ；