若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而F(x)=

f(x)

x

在I上是减函数，则称函数y=f（x）在I上是“慢增函数”．若函数h（x）=x²+(sinθ-

1

2

)x+b（θ，b是常数）在（0，1]上是“慢增函数”，下面的θ和正数b能满足的条件的是（　　）

对于函数y=f（x），若同时满足下列条件：
①函数y=f（x）在定义域D内是单调递增或单调递减函数；
②存在区间[a，b]⊆3D，使函数f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则称f（x）是D上的闭函数．
（1）求闭函数f（x）=-x³符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数g（x）=

3

4

x+

1

x

，在区间（0，+∞）上是否为闭函数；
（3）若函数φ（x）=k+

x+2

是闭函数，求实数k的取值范围．

已知函数f（x）是区间D⊆[0，+∞）上的增函数，若f（x）可表示为f（x）=f₁（x）+f₂（x），且满足下列条件：①f₁（x）是D上的增函数；②f₂（x）是D上的减函数；③函数f₂（x）的值域A⊆[0，+∞），则称函数f（x）是区间D上的“偏增函数”．
（1）（i） 问函数y=sinx+cosx是否是区间(0，

π

4

)上的“偏增函数”？并说明理由；
（ii）证明函数y=sinx是区间(0，

π

4

)上的“偏增函数”．
（2）证明：对任意的一次函数f（x）=kx+b（k＞0），必存在一个区间D⊆[0，+∞），使f（x）为D上的“偏增函数”．