12、18和24的最小公倍数是2×3×2×3×2=72。

[解题关键和提示]

求最大公约数必须用几个数的公约数去除，求最小公倍数必须除到每两个数都是互质数。

★★例44指出下面能同时被2和5整除的数。

10 24 35 27 30 55 90

解 能同时被2和5整除的数有10、30和90。

[解题关键和提示]

个位上是0的数，能同时被2和5整除。

★★例45一个数用3、4和5除，正好都能整除，这个数最小是多少？

解这个数最小是60。

[解题关键和提示]

此题实际上是求3、4和5的最小公倍数。

★★例46求14和42的最大公约数。

解14和42的最大公约数是14。

[解题关键和提示]

如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。

★★例47求8和15的最大公约数。

解8和15的最大公约数是1。

[解题关键和提示]

如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。

★★例48求12和48的最小公倍数。

解12和48的最小公倍数是48。

[解题关键和提示]

如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。

★★例49求5和9的最小公倍数。

解5和9的最小公倍数是45。

[解题关键和提示]

如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。

[解题关键和提示]

整体1表示的内容不同，虽然分的份数和取的份数都一样，但内容却不相同。

★★例51 零能不能做除数？能不能作分母？为什么？

解 不能。如5÷0=？被除数是乘法中的积，除数与商是两个因数，“0”与任何数相乘的积只能得“0”，但不能得5，因此“0”做除数没有意义。被除数是分数中的分子，除数是分数中的分母，因为“0”做除数没有意义，所以“0”做分母也没有意义。

[解题关键和提示]

“0”既不能做除数，也不能做分母，要牢牢记住这条规律。

[解题关键和提示]

从意义上去理解。

[解题关键和提示]

★★例54 化简繁分数：

[解题关键和提示]化简繁分数的最后结果可以是整数、小数或最简分数。

[解题关键和提示]找准分子、分母的最大公约数，最后的结果还要与原分数值相等。

[解题关键和提示]找准这几个分数的分母的最小公倍数。

★★★例57 写出100以内都能被2、3、5整除的数。

解 100以内30、60、90都能被2、3、5整除。

[解题关键和提示]

能被2、5同时整除的数是个位是0的数，因此，个位是0的数中，只要它的各位上的和能被3整除，这个数就能被2、3、5整除。

★★★例58 写出5个能被3与5除都余2的两位数。解 17、32、47、62、77。

[解题关键和提示]找出3与5的公倍数后，再分别加2即可。

★★★例59 一个三位数用9除余6，用4除余2，用5除余1，这个三位数最小是多少？

解 这个三位数最小是186。

[解题关键和提示]

先求9、4和5的最小公倍数是180，既然用9除余6，那么就用180加6得186，186正好能满足用4除余2，用5除余1。

★★★例60 质数、质因数与互质数有什么不同？

解 质数是指一个数，这个数是自然数，它只能被1和它本身整除，如2、3、5、7……等。质数中除了2是偶数外，其余都是奇数。

质因数也是指一个数，这个数是另一个数的因数，而且它必须是质数。也就是说，质因数是指某一个合数的质数因数，如5×4=20，5和4都是20的因数，5是质数，所以5是20的质因数；而4不是质数，所以不能说4是20的质因数。质因数不能单独存在，而是对一个合数来说的，如果我们说5是质因数，那就错了。

互质数是指两个数或几个数，它们只有公约数1，没有别的公约数。互质数的两个数不一定都是质数。如3和8是互质数，但不能说3和8都是质数。

[解题关键和提示]

弄清楚质数、质因数与互质数是不同的概念。

★★★例61 3个连续自然数的和是84，这三个自然数分别是什么？

解 这三个自然数分别是27、28、29。

[解题关键和提示]

先求这三个数的平均数28，即为这三个数的中间数，再用中间数28分别减1、加1即求出这三个连续的自然数。

★★★例62 从0、1、2、5、9这5个数字中选4个数字组成一个能同时被2、5、3整除的最小四位数是什么？

解 这个数是1290。

[解题关键和提示]

先考虑这个四位数的首和尾，最小必须是1作首，而要想能同时被2和5整除必须用0作尾，再找中间的两个数字与1、0加起来能被3整除，还要考虑把小的那个数字放在百位上。

★★★例63 在10以内一个既是奇数又是合数的数，与一个既是质数又是偶数的数，组成的互质数是什么？

解 它们组成的互质数是9与2。

[解题关键和提示]

10以内既是奇数又是合数的数是9，既是质数又是偶数的数是2。

★★★例64 能被2整除，又有约数3，同时是5的倍数的最大三位数是什么？

解 这个数是990。

[解题关键和提示]

此题实际是求能被2、3、5同时整除的最大三位数。

★★★例65 一个最简分数，如果把它的分子扩大4倍，分母缩小5倍。就变成14。这个分数是什么？

[解题关键和提示]

分子扩大4倍，分母不变，分数值也扩大4倍；分子不变，而分母缩小5倍。分数值反而扩大5倍。这样使原来的最简分数在扩大(4×5)倍的基础

要加上它的多少个分数单位，就比另外两个分数的和大。

解 最小要加上它的3个分数单位。

[解题关键和提示]

★★★例67 200以内哪些数被3、4、5除后都余1？

解 这些数是61、121、181。

[解题关键和提示]

先求出3、4和5的最小公倍数60，再用200以内60的倍数分别加1即可。

多少？

[解题关键和提示]

多少？

解 分子要加上4。

[解题关键和提示]

分数的基本性质，分子也要扩大3倍，因此分子要加上4。

★★★例70 已知a=2×3×11，b=2×3×3×5，求a和b的最大公约数和最小公倍数。

解 a和b的最大公约数是2×3=6，最小公倍数是2×3×3×5×11=990。

[解题关键和提示]

求最大公约数时把a和b公有的约数相乘，求最小公倍数时除了把公有的约数相乘外，还要乘上a和b各自的约数。

例71 三个连续自然数的积是336，这三个自然数分别是什么？

解 这三个自然数分别是6、7、8。

[解题关键和提示]

用分解质因数的方法求出结果。

★★★例72 甲、乙两数的最大公约数是1，丙数能整除乙数，那么甲、乙、丙三个数的最小公倍数是什么？

解 甲、乙、丙三个数的最小公倍数是甲、乙两数的积。

[解题关键和提示]

运用求特殊情况下两个数的最小公倍数的方法。甲、乙两数的最大公约数是1，说明甲、乙两数是互质数，因而甲、乙两数的最小公倍数是甲、乙两数的积，而丙数又能整除乙数。所以甲、乙两数的积就是甲、乙、丙三个数的最小公倍数。

★★★例73 与6互质的最小的合数是多少？

解　 与6互质的最小的合数是25。

[解题关键和提示]

此题要求与6互质又是最小的合数两个条件缺一不可，因此要一一加以试验，淘汰非解，最后得出25。

分母应加上多少？

解 分母应加上18。

[解题关键和提示]

此题是检查学生对分数基本性质的灵活运用，能否严格区分“加上2”与“乘以2”的两个不同概念。

★★★例75 两个数都是合数，又是互质数，它们的最小公倍数是120，这两个数分别是什么？

解 这两个数分别是8和15。

[解题关键和提示]

综合运用质数、合数、分解质因数、互质数、最小公倍数的关系。

[解题关键和提示]

★★★例77 一个最简分数的分子比分母少2，如果将它的分子加上最小的自然数，它的分母加上分子与分母的最小公倍数，得出的最简分数

[解题关键和提示]

依次去试。

3.45 6.7 6.3 0.33……0.066……5.125 4.384

解 有限小数有：3.45、6.3、5.125。

无限小数有：6.7、0.33……、0.066……、4.384。

[解题关键和提示]

这里的有限、无限指的是小数部分的位数。

★★例42把33、24、200分解质因数。

33=3×1124=2×2×2×3200=2×2×2×5×5

[解题关键和提示]

分解质因数是把一个合数用质因数相乘的形式表示出来。

★★例43先求12、18和24的最大公约数，再求12、18和24的最小公倍数。

2.14　 1.40　 0.337　 0.706

基本概念答案

★★★十三、已知两个数的最小公倍数是240，最大公约数是20，并知道其中一个数是80，求另一个数。

205700　 6075007米　 400387000

★★★八、把下面各数改写成用亿作单位的数。

546800800千克　 772800000　 3660945200

★★★九、把下面各数省略万后面的尾数后写出来。

3026000　 998206000吨　 999000千克

★★★十、把下面各数省略亿后面的尾数后写出来。

523700800米　 968300000　 3660945200千克

★★★十一、用5、7、8排列成一个三位数，使它能被2整除，再用这三个数字排列成一个三位数，使它是5的倍数，各有几种排列法。

★★1.二千零三百五千零四　 八亿零四百万　 九千零三万零八百

★★2.最大的一位数　 最小的三位数　 最大的六位数

147653　 7075001吨　 2003067200

★★1.商一定，被除数与除数。

★★2.工作效率相同，产量与人数。

★★3.单价一定，总价与数量。

★★4.路程一定，时间与速度。

★★5.总产量不变，工作效率与工作时间。

★★6.从甲地到乙地，已走的距离和未走的距离。

★★7.三角形的面积一定，底和高。

★★★8.汽车的大小和它的速度。

★★1.一个数只有1和它本身两个约数，这样的数叫(　　 )。

①奇数　　 ②质数　　 ③互质数

★★2.已知a能整除13，那么a(　　 )。

①是1或13　　 ②是26或39　　 ③一定是13

★★★3.a和b都是自然数， a÷b=5，那么 a与 b的最大公约数是(　　 )。

①1　　　 ②5　　　 ③a　　　 ④b

★★★4.70=2×5×7，70的约数有(　　 )个。

①3　　　 ②4　　　 ③5　　　 ④8

★★5.2、3、4、6都是12的(　　 )。

①约数　　 ②质数　　 ③质因数

★★6.几个不同的质数连乘的积是(　　 )。

①质数　　 ②合数　　 ③质因数