(三)　　　 解答题

15、　 已知a∥b，a∥α，bα，求证b∥α。

16、　 已知α∩β=l，a∥α，a∥β，求证：a∥l。

17、　 正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别为B₁C₁，A₁D₁，A₁B₁的中点，

求证：平面EBD∥平面FGA

18、已知两条异面直线a，b分别与三个平行平面α，β，γ相交于点A，B，C和P，Q，R，又AR，CP与平面β相交于点M，N，求证：MBNQ为平行四边形。

19、α∥β，C∈α，B、D∈β，点E、F分别在线段AB、CD上，且，求证：EF∥β。

第4讲直线和平面平行的判定和性质

(二)填空题

　　 7、Aα，过点A可作______条直线与α平行。

8、ABCD是梯形，AB∥CD，AB=a，CD=b，AC与BD交于O，过O作平面α与AB平行，AD∩α=M，BC∩α=N，则MN=__________。

9、a∥α，A是α另一侧的点，B，C，D∈a，线段AB，AC，AD交α于E，F，G，若BD=4，CF=4，AF=5，则EG=__________。

10、△ABC中，AB=5，AC=7，A=60⁰，G是重心，过G的平面α与BC平行，AB∩α=M，AC∩α=N，则MN=__________。

11、设α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AC与CD交于点S，且AS=8，BS=9，CD=34.

　 (1)当S在α，β之间时，CS=__________。

　 (2)当S不在α，β之间时，CS=___________。

12、α∥β，△ABC在平面β内，P是α，β间一点，线段PA，PB，PC分别交α于A’，B’，C’，若BC=12，AC=5，AB=13，且PA’∶PA=2∶3，则△A’B’C’的面积为________。

13、若a∥b，a∥α，则b与α的位置关系是________。

14、正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中

(1)　 BD与平面AD₁C的位置关系是__________；

(2)　 BD与平面CB₁D₁的位置关系是__________；

(3)　 平面CB₁D₁与平面A₁BD的位置关系是__________。

(一)选择题

1、　 a∥α，则a平行于α内的

　　 A、一条确定的直线　　 B、任意一条直线　　 C、所有直线　　 D、无穷多条平行直线

2、a，b是异面直线，下列结论正确的是

A、过不在a，b上的任一点，可作一个平面与a，b平行

B、过不在a，b上的任一点，可作一条直线与a，b相交

C、过不在a，b上的任一点，可作一条直线与a，b都平行

D、过a可以并且只可以作一平面与b平行

3、设α∩β=l，a∥α，a∥β，则a与l的位置关系是

A、异面　　　　　 B、平行　　　　　 C、相交　　　　　 D、异面或相交

4、a是平面α外一条直线，下列条件可得出a∥α的是

A、a与α内的一条直线不相交　　　　 B、a与α内的两条直线不相交

C、a与α内的无数条直线不相交　　　 D、a与α内的所有直线不相交

5、a是平面α外的一条直线，过a作平面β，使β∥α，下列结论正确的是

A、这样的β只可以作一个　　　　　　 B、这样的β至少可作一个

C、这样的β不存在　　　　　　　　　 D、这样的β至多有一个

6、α∥β，aα，B∈β，则在β内过点B的直线中

A、不存在与a平行的直线　　　　　　 B、不一定存在与a平行的直线

C、有且只有一条与a平行的直线　　　 D、有无穷多条与a平行的直线

4、　 由上面两种证法可知，构造辅助平面在立体几何证明中的重要性。

　　 例2、两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FM，求证：MN∥平面BCE。

分析：由例1的分析可知，解题的关键是如线在直线MN的基础上构造辅助平面。

法一：利用线面平行的判断定理

根据构造平面的位置差异，又有下列几种途径：

途径一：辅助平面由AC与MN确定

延长AN交BE延长于G，连CG，CG为辅助平面CAN与平面BCE的交线，下证CG∥MN。

∵ AF∥BE

∴

∵ FN=AM，FB=AC

∴ NB=MC

∴

∴ 　该等式中的线段均在同一平面内

∴ MN∥CG

途径二：辅助平面与MN由BF确定，延长BM交AD于H，连FH，下证FH∥MN。类似于途径一。略

途径三：分别过M、N作MM₁⊥BC，NN₁⊥BE，M₁、N₁为垂足。辅助平面由MM₁与NN₁构造，M₁N₁为辅助平面MM₁N₁N与平面BCE的交线，下证MN∥M₁N₁。

∵ MM₁∥AB

∴ 　　　　①

∵ NN₁∥EF

∴ 　　　　②

∵ AC=BF，AM=FN

∴ CM=BN

又AB=EF

∴ 由①②得MM₁=NN₁

∴ MM₁N₁N为平行四边形

∴ MN∥M₁N₁

∴ MN∥平面BCE

法二；利用面面平行的性质

此时，同样要在MN基础上构造与平面BCE平行的辅助平面

过M、N分别作AB的垂线，设垂足分别为M₂、N₂

∵ MM₂∥CB

∴

∵ NN₂∥AF

∴

∵ AM=FN，AC=FB

∴ AM₂=AN₂

∴ M₂与N₂重合

∴ 平面MM₂N∥平面BCE

∴ MN∥平面BCE

注：平面几何知识是学好立体几何的基础之一，在运用平面几何知识时，应在相关元素在同一平面的前提下进行，否则可能发生错误。如本题运用的平行线分线段成比例定理。

　　 例3、P是△ABC所在平面外一点，A’，B’，C’分别是△PBC，△PCA，△PAB的重心，

(1)　 求证：平面A’B’C’∥平面ABC；

(2)　 求S_{△A’B’C’} ：S_△ABC。

分析：根据判定定理，欲证面面平行，应先证线面平行，而线线平行又是线面平行的基础，就本题而言，应从容易把握的线线平行着手。

连PC’，PA’，PB’分别交AB，BC，CA于D，E，F则D，E，F分别为AB，BC，CA中点，且A’，B’，C’分别为PE，PF，PD的三等分点。

∵

∴ A’C’∥DE

∵ 　

∴ A’B’∥EF

∴ 平面A’B’C’D’∥平面ABC

注：本题直接利用面面平行判定定理的推论，不必再将线线平面转化为线面平行。

　 (2)∵

∴ A’C’=DE

又DE=AC

∴ A’C’=AC，即

同理：，

∴ △A’B’C’∽△ABC

∴

注：当两个三角形相似时，平移它们的位置到空间时，因三角形形状未变，仍然是相似的。本题在空间中运用了平面几何中的三角形相似定理，是正确的。

3、　 在3中，若再延长EC与AD，设它们的交点为F，则一定有平面BDQ∥平面PEF。

2、　 本题还可以通过构造辅助平面，利用面面平行的性质证明。

延长AB至E，使AB=BE，连PE、CE

∵ B为AE中点

∴ BQ∥PE

∵ BECD

∴ BD∥EC

又BQ∩BD=B

∴ 平面BDQ∥平面PCE

∴ PC∥平面BDQ

例1、　　 P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA中点，求证：PC∥平面BDQ。

分析：为了在平面BDQ内找到一条与PC平行的直线，只要设法过PC作一个与平面BDQ相交的平面β，则β与平面BDQ的交线即为所求直线。

∵ PA∩PC=P

∴ PA、PC可确定平面PAC

连AC，设AC∩BD=O

则 O∈AC，O∈BD

∴ O∈平面PAC，O∈平面QBD

又 Q∈PA

∴ Q∈平面PAC，Q∈平面QBD

∴ 平面PAC∩平面BQD=OQ

这就找到了过PC的辅助平面PAC与平面BDQ的交线OQ，下证OQ∥PC即可。

∵ O为平行四边形ABCD对角线的交点

∴ O为BD中点

又Q为PA中点

∴ OQ∥PC

又OQ平面BQD

∴ PC∥平面BQD

注：1、本题通过两条相交直线PA、PC构造出了辅助平面PAC；

1、　 在证明PC∥OQ时，利用中位线定理；

(三)解答题

16、设E、F、G、H依次是空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点，设AC+BD=a，AC·BD=b，求EG²+FH²的值。

17、M、N分别是空间四边形ABCD中AB、CD中点，求证：MN<(AD+BC)。

18、S是正三角形ABC所在平面外一点，SA=SB=SC，且∠ASB=∠BSC=∠CSA=90⁰，M、N分别是AB和SC中点，求异面直线SM与BN所成的角。

19、长方体ABCD-A’B’C’D’中，AB=2，BC=BB’=1，M、N分别是AD和BC中点，求异面直线MN和BC’所成角的大小。

20、正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，若E、M、N分别是棱AB、BC及B₁D₁的中点，求异面直线DN与MC₁所成的角。

第3讲直线和平面平行与平面和平面平行

(二)填空题

　　 11、正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中

　 (1)若E、F分别是棱A₁B₁、BB₁的中点，则AE和CF所成角的余弦值是________。

　 (2)若G为CD中点，则异面直线B₁C与AG所成的角的正弦值是________。

　 (3)若F、G分别是棱BB₁、DC的中点，则AF与D₁G所成的角是________。

12、长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁=BC=1，AB=，则

　 (1)AD₁与BC所成角是__________。

　 (2)CD₁与AB所成角是__________。

(4)　 CD₁与A₁D所成角的正弦值是__________。

　　 13、空间四边形ABCD中，若AB=CD=2，E、F分别是AC、BD的中点，EF=，则AB与CD所成的角是________。

14、空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且，若BD=6，梯形EFGH的面积是28，则平行线EH、FG间的距离是______。

15、a、b是异面直线，b、c是异面直线，则直线a、c的位置关系是________。

(一)　 选择题

　　 1、异面直线a与b满足aα，bβαβ，α∩β=l，则直线l与a、b的位置关系是

　　 A、l与a、b都相交　　　　　　　　　 B、l至少与a、b中的一条相交

　　 C、l至多与a、b中的一条相交　　　　 D、l至少a、b中的一条平行

2、平面α与β相交，aα，bβ，则在“①a、b必为异面直线，②a、b必互相平行，③a、b必为相交直线”这三个命题中，不正确的个数是

A、0个　　　　　 B、1个　　　　　 C、2个　　　 　　D、3个

3、　 异面直线指的是

A、　 没有公共点的两条直线　　　　　　

B、　 分别位于两个不同平面内的两条直线

C、　 某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线

D、　 不同在任何一个平面内的两条直线

　　 4、分别和两条异面直线都相交的两直线一定是

A、不平行的直线　　　　　　　　　　 B、不相交的直线

C、相交直线或平行直线　　　　　　　 D、既不相交也不平行

5、给出四个命题

① 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

② 四边相等的四边形是菱形

③ 四边相等且四个角也相等的四边形是正方形

④ 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

其中正确命题的个数是

A、1个　　　　　 B、2个　　　　　 C、3个　　　　　 D、4个

6、正方体ABCD-E’F’G’H’中，面对角线FG’与EG所成的角等于

A、45⁰　　　　　　 B、60⁰　　　　　 C、90⁰　　　　　 D、120⁰

7、OA∥O’A’，OB∥O’B’是∠AOB=∠A’O’B’的

A、充要条件　　　　　　　　　　　　 B、充分不必要条件

C、必要不充分条件 　　　　　　　　　D、既不充分又不必要条件

8、正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面对角线中，与AD₁成60⁰角的有

A、4条　　　　　　 B、6条　　　　　 C、8条　　　　　 D、10条

9、正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设AB中点为M，DD₁的中点为N，则异面直线B₁M与CN所成角的

A、30⁰　　　　　　 B、45⁰　　　　　 C、60⁰　　　　　 D、90⁰

10、给出三个命题

① 若两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线互相平行

② 若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线互相平行

③ 若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行

其中不正确的个数是

　　　　　　 　A、0个　　　　　　 B、1个　　　　　　 C、2个　　　　　 D、3个