1．直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的(　)．

　A．一条直线不相交

　B．两条直线不相交

　C．任意一条直线都不相交

　D．无数条直线不相交

5．在正方体ABCD－中，E、F分别为和的中点，求证：直线∥平面．

综合练习

4．如图9－20，在空间四边形ABCD中，E是边AB上的一点，求作过C、E的一个平面，使对角线BD平行于这个平面，并说明理由．

图9－20

3．(1)若直线a、b均平行于平面a，那么a与b的位置关系是__________；

　(2)若直线a∥b，且a∥平面b，则b与b的位置关系是__________；

　(3)若直线a、b是异面直线，且a∥b，则b与b的关系是__________．

2．梯形ABCD中，AB∥CD，AB平面a，CD平面a，则直线CD与平面a内的直

　线的位置关系只能是(　)．

　A．平行　　　　　　　　　　　　　　　 B．平行或异面

　C．平行或相交　　　　　　　　　　　　 D．异面或相交

1．给出下列四个命题：

　①若一直线与一个平面内的一条直线平行，则这直线与这个平面平行．

　②若一直线与一平面内的两条直线平行，则这直线与这个平面平行．

　③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

　④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行．

　其中正确命题的个数是(　)．

　A．0　　　　　 B．1　　　　　 C．2　　　　　　 D．3

6.　　　 综合性性问题

例18 　某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有(　　 )

A.5种　　　　　　 B.6种　　　　　 　C.7种　　　　　　 D.8种

　　 讲解　 设购买单片软件片, 磁盘盒, 由题意得

　　 经检验可知,该不等式组的正整数解为:

　　 当时,

　　 当时,

当时,

总共有7组, 故应选C.

　　 例19　 银行计划将某资金给项目M和N投资一年，其中40%的资金给项目M，60%的资金给项目N，项目M能获得10%的年利润，项目N能获得35%的年利润，年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户. 为了使银行年利润不小于给M、N总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户回扣率最小值为(　　 )

　　　 　　　 A．5%　　　　 　　 B．10%　　　　　　 　 C．15%　　　　　　　 　 D．20%

　　　 讲解 设共有资金为, 储户回扣率, 由题意得解出

解出　 ，故应选B.

例20 某电视台的颁奖礼盒用如下方法做成：先将一个奖品放入一个正方体内，再将正方体放在一个球内，使正方体内接于球；然后再将该球放入一个正方体内，球内切于该正方体，再将正方体放入一个球内，正方体内接于球，……如此下去，正方体与球交替出现. 如果正方体与球共有13个，最大正方体的棱长为162cm. 奖品为羽毛球拍、蓝球、乒乓球拍、手表、项链之一，则奖品只能是(构成礼品盒材料的厚度忽略不计)(　 ).

　　 A . 项链　　　　　　　 　　　　　　　　　　　B. 项链或手表

　　　 C. 项链或手表，或乒乓球拍　　　　　　　　　　 D. 项链或手表，或乒乓球拍，或蓝球

　　　 讲解　 因正方体的中心与外接球的中心相同，设正方体的棱长为a，外接球的半径为R，则有

　　　　　　　　　　　 　即

　 半径为R的球的外切正方体的棱长，

　 相邻两个正方体的棱长之比为

因为有7个正方体，设最小正方体的棱长为t，则

 得.

故礼品为手表或项链. 故应选B.

高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择. 例如：估值选择法、特值检验法、顺推破解法、数形结合法、特征分析法、逆推验证法、提炼公式法等都是常用的解法. 解题时还应特别注意：数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，因而在求解时对照选支就显得非常重要，它是快速选择、正确作答的基本前提.

5.　　　 　解析几何

例14 　过抛物线y＝x²(a> 0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段FP与FQ的长分别是p、q，则＝(　).

　　 A.　2a　　　B.　　　　　C.　　4a　　　D.　　

讲解 　由题意知，对任意的过抛物线焦点F的直线，的值都是的表示式，因而取抛物线的通径进行求解，则p＝q＝，所以=，故应选D.

例15　 点P到曲线(其中参数)上的点的最短距离是(　 ).

A.　 0　　　　　 B.　 1　　　　　　 C.　 　　　　　　　　D.　　　　 2

讲解 由两点间的距离公式，得点P到曲线上的点Q的距离为

当时， 故应选B.

将曲线方程转化为，显然点P是抛物线的焦点，由定义可知：抛物线上距离焦点最近的点为抛物线的顶点，故应选B.

例16 　已知椭圆=1(a＞b＞0)，双曲线=1和抛物线y²=2px(p＞0 )的离心率分别为e₁、e₂、e₃，则(　　 ).　

　A.e₁e₂＞e₃　 　　　　　　　　　　　　　　B.e₁e₂＝e₃　

　C.e₁e₂＜e₃　 　　　　　　　　　　　　　　D.e₁e₂≥e₃

讲解

故应选C.

例17　 平行移动抛物线，使其顶点的横坐标非负，并使其顶点到点的距离比到y轴的距离多，这样得到的所有抛物线所经过的区域是

　A.　 xOy平面　　　 　　　　　　　B.　　

C.　 　　　　　　　　　　D.　 　

讲解　 我们先求出到点的距离比到y轴的距离多的点的轨迹.

设P(x,y)是合条件的点，则_，

两边平方并整理得

　再设平移后抛物线的顶点为，于是平移后抛物线的方程为

　按a整理得　　　 .

，化简得.故应选B.

4.　立体几何

例12　　 如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的

正方形，EF∥AB，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为( 　)

　　 A.　　　 B.5　　　　 C.6　　　　　 D.

讲解 　本题的图形是非常规的多面体，需要对其进行必要的分割.

连EB、EC，得四棱锥E―ABCD和三棱锥E―BCF，这当中，四棱锥E―ABCD的体积易求得, 又因为一个几何体的体积应大于它的部分体积，所以不必计算三棱锥E―BCF的体积，就可排除A， B.，C.，故应选D.

“体积变换”是解答立体几何题的常用方法，请予以关注.

例13　 关于直线以及平面，下面命题中正确的是(　 ).

A.　　 若 则

B.　　 若 则

C.　　 若 且则

D.　　 若则

讲解　 对于选支D, 过作平面P交平面N于直线，则，而从而

又 故 应选D.

　　　 请读者举反例说明命题A, B, C, 均为假命题.

3. 　数列与排列组合

例9　 　由给出的数列的第34项是(　 ).

A. 　　　　B.　 100　　　　 C.　 　　　　　　D.　

讲解　 对已知递推式两边取倒数, 得

即　　　 .

　　　 这说明数列是以为首项, 3为公差的等差数列, 从而有

即　　 　故应选B.

　　　 构造等差数列、等比数列是解决数列考题的常用方法, 值得我们重视.

　　　 例10 　一种细胞，每三分钟分裂一次(一个分裂为两个)，把一个这种细胞放入一个容器内，恰好一小时充满；如果开始时把两个这种细胞放入该容器内，那么细胞充满容器的时间为(　 ).

　　　 　A. 57分钟　　　 B.　 30分钟　　　 C. 27分钟　　　　　 D.45分钟

　　　 讲解 　设容器内细胞共分裂n次，则，即从而共花去时间为分钟，故应选A.

　　　 例11 从正方形的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有(　 ).

　　　 A. 8种　　　　 B. 12种　　　　 C.　 16种　　　　　　 D.　 20种

讲解　 采用补集思想求解. 从6个面中任取3个面的取法共有种方法，其中三个面交于一点共有8种可能，从而满足题意的取法共有种，故应选B.

请读者思考：关系式：的含义是什么？