已知函数的最小值为0，其中

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若对任意的有≤成立，求实数的最小值；

（Ⅲ）证明（）.

【解析】(1)解： 的定义域为

由，得

当x变化时，，的变化情况如下表：

因此，在处取得最小值，故由题意，所以

（2）解：当时，取，有，故时不合题意.当时，令，即

令，得

①当时，，在上恒成立。因此在上单调递减.从而对于任意的，总有，即在上恒成立，故符合题意.

②当时，，对于，，故在上单调递增.因此当取时，，即不成立.

故不合题意.

综上，k的最小值为.

（3）证明：当n=1时，不等式左边==右边，所以不等式成立.

当时，

在（2）中取，得 ，

从而

所以有

综上，，

(1），  则     （4分）

 （2）由（1）知，则

 ①当时，，令或

，

在上的值域为                              （7分）

② 当时，      a.若,则                         

b.若,则在上是单调减的

  在上的值域为                          

c.若则在上是单调增的

  在上的值域为                         （9分）

综上所述，当时，在的值域为                     

  当时，在的值域为                  （10分）         

当时，若时，在的值域为

若时，在的值域为 （12分）

即  当时，在的值域为

当时，在的值域为

当时，在的值域为 

(1），  则     （4分）

 （2）由（1）知，则

 ①当时，，令或

，

在上的值域为                              （7分）

② 当时，      a.若,则                         

b.若,则在上是单调减的

  在上的值域为                          

c.若则在上是单调增的

  在上的值域为                         （9分）

综上所述，当时，在的值域为                     

  当时，在的值域为                  （10分）         

当时，若时，在的值域为

若时，在的值域为 （12分）

即  当时，在的值域为

当时，在的值域为

当时，在的值域为 

(1），  则     （4分）

 （2）由（1）知，则

 ①当时，，令或

，

在上的值域为                              （7分）

② 当时，      a.若,则                         

b.若,则在上是单调减的

  在上的值域为                          

c.若则在上是单调增的

  在上的值域为                         （9分）

综上所述，当时，在的值域为                     

  当时，在的值域为                  （10分）         

当时，若时，在的值域为

若时，在的值域为 （12分）

即  当时，在的值域为

当时，在的值域为

当时，在的值域为