对于解方程x²－2x－3＝0的下列步骤：

①设f(x)＝x²－2x－3

②计算方程的判别式Δ＝2²＋4×3＝16>0

③作f(x)的图象

④将a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式

x＝，得x₁＝3，x₂＝－1.

其中可作为解方程的算法的有效步骤为(　　)

A．①②                            B．②③

C．②④                D．③④

 

已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为,

（1）若方程有两个相等的根，求的解析式；

（2）若的最大值为正数，求的取值范围．

【解析】第一问中利用∵f(x)+2x>0的解集为(1,3),

设出二次函数的解析式，然后利用判别式得到a的值。

第二问中，

解：（1）∵f(x)+2x>0的解集为(1,3),

   ①

由方程

              ②

∵方程②有两个相等的根，

∴，

即5a²-4a-1=0,解得a=1(舍) 或 a=-1/5

a=-1/5代入①得：

（2）由

 

由 解得：

故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是

 

数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，事实上，有很多代数问题，可以化归为几何问题来解决．如与

(x-a)2+(y-b)2

相关的代数问题可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间距离的几何问题．结合上述观点，可得方程|

x2+8x+20

+

x2-2x+2

|=

26

的解为．

已知向量（），向量，，

且.

（Ⅰ）求向量； （Ⅱ）若，，求.

【解析】本试题主要考查了向量的数量积的运算，以及两角和差的三角函数关系式的运用。

（1）问中∵，∴，…………………1分

∵，得到三角关系是，结合，解得。

（2）由，解得，，结合二倍角公式，和,代入到两角和的三角函数关系式中就可以求解得到。

解析一：（Ⅰ）∵，∴，…………1分

∵，∴，即   ①  …………2分

又 ②   由①②联立方程解得，，5分

∴     ……………6分

（Ⅱ）∵即，，  …………7分

∴，               ………8分

又∵，          ………9分

，            ……10分

∴．

解法二: (Ⅰ)，…………………………………1分

又，∴，即，①……2分

又    ②

将①代入②中，可得   ③    …………………4分

将③代入①中，得……………………………………5分

∴   …………………………………6分

(Ⅱ) 方法一 ∵,，∴，且……7分

∴，从而.      …………………8分

由(Ⅰ)知， ；     ………………9分

∴.     ………………………………10分

又∵，∴， 又，∴    ……11分

综上可得  ………………………………12分

方法二∵,，∴，且…………7分

∴.                                 ……………8分

由(Ⅰ)知， .                …………9分

∴             ……………10分

∵，且注意到，

∴，又，∴   ………………………11分

综上可得                    …………………12分

（若用，又∵ ∴ ，

 

某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：

零件的个数x(个)	2	3	4	5
加工的时间y(小时)	2.5	3	4	4.5

 

(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；

(2)求出y关于x的线性回归方程，并在坐标系中画出回归直线；

(3)试预测加工10个零件需要多少时间？

(注：)

【解析】第一问中利用数据描绘出散点图即可

第二问中，由表中数据得＝52.5， ＝3.5，＝3.5，＝54，∴＝0.7，＝1.05得到回归方程。

第三问中，将x＝10代入回归直线方程，得y＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)得到结论。

(1)散点图如下图．

………………4分

(2)由表中数据得＝52.5， ＝3.5，＝3.5，＝54，

∴＝…＝0.7，＝…＝1.05.

∴＝0.7x＋1.05.回归直线如图中所示．………………8分

(3)将x＝10代入回归直线方程，得y＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)，

∴预测加工10个零件需要8.05小时