1.式子可以理解为()

两点(a,b)与(1,-2)间的距离

两点(a,b)与(-1,2)间的距离

两点(a,b)与(1,2)间的距离

两点(a,b)与(-1,-2)间的距离

2．能运用距离公式、中点坐标公式解决一些简单的问题．

[课堂互动]

自学评价

(1)平面上两点之间的距离公式为　　　

　．

(2)中点坐标公式：对于平面上两点，线段的中点是，则．

[精典范例]

例1：(1)求A(-1,3)、B(2，5)两点之间的距离；

(2)已知A(0，10)，B(a，-5)两点之间的距离为17，求实数a的值．

[解](1)由两点间距离公式得AB=

(2) 由两点间距离公式得,解得 a=．

　故所求实数a的值为8或-8．

例2：已知三角形的三个顶点，试判断的形状．

分析：计算三边的长，可得直角三角形．

[解]

,

∵，

∴为直角三角形.

点评：本题方法多样，也可利用、斜率乘积为-1，得到两直线垂直.

例3：已知的顶点坐标为，求边上的中线的长和所在的直线方程．

分析：由中点公式可求出中点坐标,分别用距离公式、两点式就可求出的长和所在的直线方程．

[解]如图，设点．

∵点是线段的中点，

∴

，

即的坐标为．

由两点间的距离公式得．

因此，边上的中线的长为．

由两点式得中线所在的直线方程为

，即．

点评:本题是中点坐标公式、距离公式的简单应用.

例4．已知是直角三角形，斜边的中点为，建立适当的直角坐标系，

证明：．

证：如图，以的直角边所在直线为坐标轴，建立适当的直角坐标系，

设两点的坐标分别为，

∵是的中点，

∴点的坐标为，即．

由两点间的距离公式得

所以，．

追踪训练一

1．掌握平面上两点间的距离公式、中点坐标公式；

4．求证：不论为何实数，直线：恒过一定点，并求出此定点的坐标．

答案：定点坐标为．

3．设(为非零常数)，则直线恒过点．

2．(2002北京文，6)若直线l：y＝kx与直线2x+3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是　　(　 　)

解法一：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围

∵交点在第一象限，

∴ 　 ∴　

∴k∈(，+∞)

∴倾斜角范围为()

解法二：如图，直线2x+3y－6=0过点A(3，0)，B(0，2)，直线l必过点(0，－)，当直线过A点时，两直线的交点在x轴，当直线l绕C点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而得出结果.

点评：解法一利用曲线与方程的思想，利用点在象限的特征求得，而解法二利用数形结合的思想，结合平面几何中角的求法，可迅速、准确求得结果.

1．已知两直线和的交点是，则过两点的直线方程是 (　　 )　　

3. 三条直线，，有且只有两个交点，则

3或-6．

[选修延伸]

两直线的交点的其他应用

例4: 已知三条直线：，：，：，求分别满足下列条件的的值：

(1)使这三条直线交于同一点；(2)使这三条直线不能构成三角形．

分析：三条直线交于同一点的条件是两直线交点在第三条直线上；三条直线不能构成三角形的条件是三条直线交于一点或其中有两条直线平行．

[解]要使三直线交于一点，则与不平行，∴，

∴由得，即与交点为，

代入方程得，解得或．

(2)若、、交于一点，则或；若，则；

若，则；若，则无解，

综上可得：或或或．

点评：三条直线要能构成三角形，只需两两不平行即可．

例5：求证：不论为何实数，直线：恒过一定点，并求出此定点的坐标．

分析：证明直线过定点即证定点坐标始终满足直线方程．

[解](法一)将直线方程整理为

，该方程表示过直线和交点的直线，

由得交点，∴直线过定点．

(法二)令得，得，两直线和交点为，

将代入直线方程得恒成立，所以，直线过定点．

点评：以上两种方法是处理直线过定点问题的常用方法．

思维点拔：

因为直线上点的坐标就是对应方程的解,所以两直线是否有交点,取决于它们对应方程组成的方程组是否有唯一解.体验“形”的问题怎样通过“数”的运算来解决,从而感悟到解析几何的本质(即用代数的方法来研究或解决几何问题).

追踪训练二

2. 若三条直线 相交于一点，则的值等于　　　　　　　　　 (　 　)

1. 若一条直线过点(2,1)，且与另一条直线相交于点(1,2),则该直线的方程为．