3.给出下列命题：

①若平面α的两条斜线段PA、PB在α内的射影长相等，那么PA、PB的长度相等；

②已知PO是平面α的斜线段，AO是PO在平面α内的射影，若OQ⊥OP，则必有OQ⊥OA；

③与两条异面直线都平行的平面有且只有一个；

④平面α内有两条直线a、b都与另一个平面β平行，则α∥β．

上述命题中不正确的是　　　　　　　　　　 ( 　)

A.①②③④　　 B.①②③　　 C.①③④　　　 D.②③④

2.下列命题中正确的是　　　　　　　　 ( 　　)

A.过平面外一点作这个平面的垂面有且只有一个

B.过直线外一点作这条直线的平行平面有且只有一个

C.过直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条

D.过平面的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个

1.若两直线a⊥b，且a⊥平面a，则b与a的位置关系

是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A、相交　　　　　　 B、b∥a　 　　C、b∥a，或bÌa　　 D、bÌa

3．线面角的求法：作出射影转化为平面内的角.　

同步练习　　　　　 9.3线面垂直、三垂线定理

[选择题]

2.证明线面垂直的常用方法：

(1)用判定定理；　　　　

(2)与直线的垂面平行

(3)用面面垂直的性质定理；

(4)同一法.

(5)用活三垂线定理证线线垂直.

1.熟练掌握线面垂直的判定定理及性质定理.

[例1]AD为△ABC中BC边上的高，在AD上取一点E，使AE=DE，过E点作直线MN∥BC，交AB于M，交AC于N，现将△AMN沿MN折起，这时A点到A¢点的位置，且ÐA¢ED=60°，求证：A¢E⊥平面A¢BC.

[例2]如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平

面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

求证：

(1)BC⊥平面PAB；　

(2)AE⊥平面PBC；

(3)PC⊥平面AEF.　　　　　　　　　　　　　　　　　　

证明：(1)PA⊥平面ABC

BC⊥平面PAB.

AB⊥BC

PA∩AB=A　　　　

(2)AE平面PAB，

AE⊥平面PBC.

　　　　　 AE⊥PB

　　　　 PB∩BC=B

(3)PC平面PBC，

PC⊥平面AEF.

　　 　　　PC⊥AF

　　　　 AE∩AF=A

[例3]如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，ÐACB=90°,AC=1,CB=，侧棱AA₁=1，侧面A A₁ B₁B的两条对角线交于点D，B₁C₁的中点为M，

求证：CD^平面BDM

证明：在直三棱柱中，又

∴平面，

∵，∴，

∴，

连结，则上的射影,也是CD的射影

在中，

在中，，

∴, ∴，

∴，

∴平面.

◆总结提练： 证线面垂直, 要注意线线垂直与线面垂直关系与它之间的相互转化

证线线垂直常用余弦定理、勾股定理逆定理,三垂线定理或通过线面垂直.

[例4](2006浙江)如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，， 底面，

且，分别为、的中点.

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)求与平面所成的角.

解：(I)∵是的中点，，∴.

∵平面，∴，从而平面.

∵平面，∴.

(II)取的中点，连结、，则，

∴与平面所成的角和与面所成的角相等.

∵平面，

∴NG是BG在面ADMN内的射影,

是与平面所成的角.

在中，.

故与平面所成的角是.

6. .CD⊥平面α时射影面积最小；CD//α时射影面积最大.

6．(2006浙江)正四面体ABCD的棱长为l，棱AB∥平面，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是______.

◆答案提示：1-3.DBDA;　 5. a∥d;

5．直线a,b,c 是两两互相垂直的异面直线，直线 d是b和c的公垂线，则d和a 的位置关系是______________.