120. 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．

在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，

119. 正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁，CC₁的中点，求异面直线AE和BF所成

角的大小．

解析：取DD₁的中点G，可证四边形ABFG是平行四边形，得出BF∥AG，

则∠GAE是异面直线AE与BF所成的角．连GF，设正方体棱长为a，

，．

在△AEG中，由余弦定理得

∴ ．

118. 如图，△ABC和△DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠ABC=

∠DBC=120°，求

(1) A、D连线和直线BC所成角的大小；

(2) 二面角A－BD－C的大小

解析：在平面ADC内作AH⊥BC，H是垂足，连HD．因为平面ABC⊥平面BDC．所以AH⊥平面BDC．HD是AD在平面BDC的射影．依题设条件可证得HD⊥BC，由三垂线定理得AD⊥BC，即异面直线AD和BC形成的角为90°．

在平面BDC内作HR⊥BD，R是垂足，连AR．HR是AR在平面BDC的射影，∴ AR⊥BD，∠ARH是二面角A－BD－C的平面角的补角，设AB=a，可得，

，，

∴ ．

∴ 二面角A－BD－C的大小为π－arctg2．

117. 已知平面α⊥平面β，交线为AB，C∈，D∈，，E为BC的中点，AC⊥BD，BD=8．

①求证：BD⊥平面；

②求证：平面AED⊥平面BCD；

③求二面角B－AC－D的正切值．

解析：①AB是AC在平面β上的射影，由AC⊥BD得AB⊥BD．∵ α⊥β．∴ DB⊥α．

②由AB=AC，且E是BC中点，得AE⊥BC，又AE⊥DB，故AE⊥平面BCD，因此可证得平面AED⊥平面BCD．

③设F是AC中点，连BF，DF．由于△ABC是正三角形，故BF⊥AC．又由DB⊥平面α，则DF⊥AC，∠BFD是二面角B－AC－D的平面角，

在Rt△BFD中，．

116. 二面角α－a－β的值为θ(0°<θ<180°)，直线l⊥α，判断直线l与平面β的位置关系，并证明你的结论．

解析：　　 分两种情况，θ=90°，θ≠90°．

当θ=90°时，l∥β或lβ，这个结论可用反证法证明；

当θ≠90°时，l必与β相交，也可用反证法证明．

115. 两个正方形ABCD和ABEF所在的平面互相垂直，求异面直线AC和BF所成角的大小．

解析：作BP∥AC交DC延长线于P，则∠FBP(或补角)就是异面直线BF和AC所成的角，设正方形边长为a，在△BPF中，由余弦定理得，异面直线AC和BF成60°角．

114. 设S为平面外的一点，SA=SB=SC，，若，求证：平面ASC平面ABC。

解析：(1)把角的关系转化为边的关系

(2)利用棱锥的性质(三棱锥的侧棱相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心)

证明：设D为AB的中点

同理

且

即为且S在平面上的射影O为的外心

　则O在斜边AC的中点。

平面ABC

平面SAC

平面ASC平面ABC

113. 已知SA、SB、SC是共点于S的且不共面的三条射线，∠BSA=∠ASC=45°,∠BSC=60°，求证：平面BSA⊥平面SAC

解析：先作二面角B-SA-C的平面角，根据给定的条件，在棱S上取一点P，分别是在两个平面内作直线与棱垂直

证明：在SA上取一点P

过P作PR⊥SA交SC于R

过P作PQ⊥SA交SB于Q

∴∠QPR为二面角B-SA-C的平面角设PS=a

∵∠PSQ=45°，∠SPQ=90°

∴PQ=a，SQ=a

同理PR= a，SR= a

∵∠PSQ=60°，SR=SQ= a

∴ΔRSQ为正三角形则RQ= a

∵PR²+PQ²=2a²=QR²

∴∠QPQ=90°

∴二面角B-SA-C为90°

　　 ∴平面BSA⊥平面SAC

122. 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面。

已知：β⊥α，γ⊥α，βγ=a

求证：a⊥α

解析：利用线面垂直的性质定理

证明：设αβ=AB，αγ=CD

　　　　 在平面β内作L1⊥AB，

　　　　 在平面γ内作L1⊥CD，

　　　　 ∵α⊥β∴L1⊥α

　　　　 同理L2⊥α

　　　　 ∴L1//L2

　　　　 ∴L1//β

　　　　 ∴L1//a

　　　　 ∴a⊥α

121. 已知如图，P平面ABC，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC⊥平面PBC

解析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC中点D，证明AD垂直平PBC即可

证明： 取BC中点D　 连结AD、PD

　　　　 ∵PA=PB；∠APB=60°

　　　　 ∴ΔPAB为正三角形　　　　　　

　　　　 同理ΔPAC为正三角形

　　　　 设PA=a

　　　　 在RTΔBPC中，PB=PC=a

　　　　 BC=a

　　　　 ∴PD=a

　 在ΔABC中

　 AD=

　　 =a

∵AD²+PD²=

　　　　 =a²=AP²

∴ΔAPD为直角三角形

即AD⊥DP

又∵AD⊥BC

∴AD⊥平面PBC

∴平面ABC⊥平面PBC