171. 如图：已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q。

求证:P、Q、R三点共线。

解析：点在线上，线在面内，可得点在面内，证明P，Q，R三个点是平面

与平面ABC的公共点，即可。

7.提示：只需证明P、Q、R为平面ABC与α的公共点；

170. 如图：已知直线l与平行直线a、b、c都相交，

求证:l与a、b、c共面。

设L∩a＝A，

l∩b＝A，L∩c＝C，∵a∥b，∴a、b可确定一个平面α，∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α，∴ABα，即Lα．∵b∥c，∴b、c可确定一个平面β，

同理lβ．∵α、β均过相交直线b、l，∴α、β重合，∴a、b、c、l共面；

169. 一个平面将空间分成几部分？二个平面将空间分成几部分？三个平面将空间分成几部分？

解析：2部分，3或4部分，4或6或7或8部分

168. 正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱AA₁的中点，求平面EB₁C和平面ABCD所成二面角的大小．

解：△EB₁C在底面ABCD内的射影三角形为Rt△ABC．

　因E点射影为A，B₁点射影为B．

　设正方体棱长为a，

　则S_△ABC＝a²．

　又在△EB₁C中，

　B₁E＝a，B₁C＝a，EC＝a，

　故cos∠B₁EC＝．

　∴　sin∠B₁EC＝．

　∴　S＝×a·a·＝a²．

　设面EB₁C和面ABCD所成的二面角为q，

　则cosq＝＝．

　那么所求二面角的大小为arccos．

　评述：此题属无棱二面角问题，图中没有二面角的棱，我们也可以去找到棱来解决，但这里通过射影而直接求角更方便．S′＝S_△ABC，S＝．

167.四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB垂直面ABCD，证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°．

解析：：注意到题目中所给的二面角，面PAD与面PCD的棱为PD，围绕PD而考虑问题解决途径．

　证法一：利用定义法

　经A在PDA平面内作AE⊥PD于E，连CE．

　因底是正方形，故CD＝DA．

　△CED≌△AED，AE＝EC，∠CED＝∠AED＝90°，

　则CE⊥PD．

　故∠CEA是面PAD与面PCD所成二面角的平面角．

　设AC与BD交于O，连EO，则EO⊥AC．

　因OA＝×＝a，AE＜AD＜a．

　cos∠AEC＝＝＜0．

　所以面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°．

　证法二：运用三垂线法

　∵　PB⊥面ABCD，则PB⊥AD，又AD⊥AB，

　∴　AD⊥面PAB，即面PAB⊥面PAD．

　过B作BE⊥PA，则BE⊥面PAD．

　在面PBC内作PGBC，连GD．

　经C作CF⊥面PAD于F，

　那么连结EF，有EFAD．

　经F作FH⊥PD于H，连CH，

　则∠FHC是所求二面角平面角的补角．

　因CF⊥FH，故∠FHC是锐角．

　则面PAD与面PCD所成二面角大于90°．

　此结论证明过程中与棱锥高无关．

　证法三：利用垂面法找平面角．

　在证法一所给图形中

　连AC、BD，因AC⊥BD，PB⊥面ABCD，

　∴　AC⊥PD．

　经A作AE⊥PD于E，那么有PD⊥面AEC，连CE，

　即PD⊥CE．

　故PD与平面AEC垂直后，面AEC与面ADC及面ADP的交线EA、EC构成角∠CEA就是二面角的平面角．

　以下同证法一．

166. 一张菱形硬纸板ABCD的中心是点O，沿它的一条对角线AC对折，使BO⊥DO，这时二面角B-AC-D是多少度？要使二面角B-AC-D为60°，点B和D间的距离应是线段BO的几倍？

　解：因ABCD是菱形，故AC⊥BD．

　沿对角线AC折为空间图形后BO⊥AC，DO⊥AC．

　∠BOD就是二面角B-AC-D的平面角．

　因BO⊥OD，故∠BOD＝90°，

　即二面角B-AC-D是90°．

　要使二面角B-AC-D为60°．

　因BO＝OD，故△BOD是等边三角形，

　此时BD＝BO．

165. 自二面角内一点分别向这个二面角的两个面引垂线，求证：它们所成的角与这个二面角的平面角互补．

　证明：如图PQ⊥b，PQ⊥AB，

　PR⊥a，PR⊥AB，

　则AB⊥面PQR．

　经PQR的平面交a、b于SR、SQ，

　那么AB⊥SR，AB⊥SQ．

　∠QSR就是二面角的平面角．

　因四边形SRPQ中，∠PQS＝∠PRS＝90°，

　因此∠P+∠QSR＝180°．

164. 已知二面角a-l-b是45°角，点P在半平面a内，点P到半平面b的距离是h，求点P到棱l的距离．

　解：经P作PB⊥b于B，

　经P在平面a内作PA⊥l于A．

　连AB，则AB⊥l．

　∠PAB就是二面角的平面角，∠PAB＝45°．

　那么在Rt△PAB中，PB＝h，PA＝h．

163.如图，立体图形V-ABCD中，底面是正方形ABCD，其他四个侧面都是全等的正三角形，画出二面角V-AB-C的平面角，并求它的度数．

　解：设底面边长为a，则侧面三角形的边长也为a．

　取AB的中点E，DC中点F，连VE、EF．

　∵　侧面△VAB是正三角形，

　∴　VE⊥AB．

　又EF∥BC，BC⊥AB，∴　EF⊥AB．

　∠VEF就是V-AB-C的平面角．

　cos∠VEF＝．