Question

（1）一个自然数N被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被3除余2，被2除余1，则N的最小值是

 

．
（2）若1059、1417、2312分别被自然数x除时，所得的余数都是y，则x-y的值等于（　　）
A．15    B．1    C．164    D．174
（3）设N=

11…1

1990个

，试问N被7除余几？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）N+1能分别被2，3，4，5，6，7，8，9，10整除；
（2）建立关于x，y的方程组，通过解方程组求解；
（3）从考查11，111，…111111被7除的余数人手．

解答：解：（1）N+1为2～10的公倍数，要使N最小，取N+1为它的最小公倍数2²×3²×5×7=2520，故N的最小值为2520-1=2519，
（2）设已知三数被自然数x除时，商数分别为a、b、c，

ax+y=1059…① bx+y=1417…② cx+y=2312…③

②-①得：（b-a）x=358，③-②得（c-b）x=895，③-①得（c-a）x=1253，
由此x为358、895、1253的公约数，x=179，
1059÷179=5…164，
y=164，
x-y=179-164=15．
故选A．
（3）111111=7×15873，而1990=6×331+4，故只须考查1111被7除的余数，1111=7×158+5，故N被7除余5．

点评：本题主要考查带余数除法的知识点，运用余数公式，余数性质，化不整除问题为整除问题，此题难度较大．