Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF=DE．连接BF、CF、AC．
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）若四边形ABFC是矩形，求证：△BED∽△DEC；
（3）在（2）的条件下，若等腰梯形的腰AB=5cm，下底BC=8cm，点P是BC边上的一个动点，以点P为圆心，以1cm长为半径的圆从点B出发，以每秒2cm的速度向点C移动（不与点C重合），当⊙P与AC边相切时，求⊙P移动的时间．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据DE⊥BC，EF=DE可知△CDF是等腰三角形，故CD=CF，∠DCB=∠FCB，再由在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC可知AB=CD=CF，∠ABC=∠DCB，故∠FCB=∠ABC，所以四边形ABFC是平行四边形；
（2）连接BD，由在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC可知梯形ABCD是等腰梯形，故AC=BD，由此可得出△ABC≌△DCB，再由四边形ABFC是矩形可知∠BAC=90°，故∠BDC=90°，所以∠DBC+∠DCB=90°，再由DE⊥BC可知，∠BED=90°，所以∠BDE=∠DCB，故∠DBC=∠CDE，故可得出结论；
（3）设⊙P与AC边相切于点G，⊙P移动的时间为t，则PC=BC-BP=8-2t，连接GP，则PG⊥AC，再由四边形ABFC是矩形可知AB⊥AC，故AB∥PG，所以△CGP∽△CAB，再由相似三角形的对应边成比例即可得出t的值．
解答：（1）证明：∵DE⊥BC，EF=DE，
∴△CDF是等腰三角形，
∴CD=CF，∠DCB=∠FCB，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴AB=CD=CF，∠ABC=∠DCB，
∴∠FCB=∠ABC，
∴四边形ABFC是平行四边形；

（2）证明：连接BD，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
在△ABC与△DCB中，
∵，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∵四边形ABFC是矩形，
∴∠BAC=90°，
∴∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∵DE⊥BC，
∴∠BED=90°，
∴∠BDE=∠DCB，∠DBC=∠CDE，
∴△BED∽△DEC；

（3）设⊙P与AC边相切于点G，⊙P移动的时间为t，则PC=BC-BP=8-2t，连接GP，则PG⊥AC，
∵四边形ABFC是矩形，
∴AB⊥AC，
∴AB∥PG，
∴△CGP∽△CAB，
∴=，=，
解得t=3.2．
答：⊙P移动的时间为3.2秒．
点评：本题考查的是相似形综合题，涉及到等腰梯形的性质、相似三角形的判定与性质、切线的性质及全等三角形的判定与性质，涉及面较广，难度适中．