Question

【题目】如图，矩形的顶点分别在轴的正半轴上，点在反比例函数的第一象限内的图像上，，动点在轴的上方，且满足.

(1)若点在这个反比例函数的图像上，求点的坐标;

(2)连接，求的最小值;

(3)若点是平面内一点，使得以为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）点P的坐标为(6,2)；（2）；（3）Q (4,5)，Q (4+,5)，Q (42,1)，Q (4+2,1)．

【解析】

(1)首先根据点B坐标，确定反比例函数的解析式，设点P的纵坐标为m(m>0)，根据，构建方程即可解决问题；

(2)过点(0,2)，作直线l⊥y轴,由(1)知，点P的纵坐标为2，推出点P在直线l上作点O关于直线l的对称点O'，则OO'=4，连接AO'交直线l于点P，此时PO+PA的值最小；

(3)分两种情形分别求解即可解决问题；

(1)∵四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，

∴点B的坐标为(4,3)，

∵点B在反比例函数的第一象限内的图象上

∴k=12，

∴y=，

设点P的纵坐标为m(m>0)，

∵．

∴OAm=OAOC，

∴m=2，

当点，P在这个反比例函数图象上时，则2= ，

∴x=6

∴点P的坐标为(6,2)．

(2)过点(0,2)，作直线l⊥y轴．

由(1)知，点P的纵坐标为2，

∴点P在直线l上

作点O关于直线l的对称点O'，则OO'=4，

连接AO'交直线l于点P，此时PO+PA的值最小，

则PO+PA的最小值=PO'+PA=O'A=．

(3)

①如图2中，当四边形ABQP是菱形时，易知AB=P=PQ=BQ=3，P (4,2)，P (4,2)，

∴Q (4,5)，Q (4+,5)．

②如图3中，当四边形ABPQ是菱形时，P (42,2)，P(4+2,2)，

∴Q (42,1)，Q (4+2,1)．

综上所述，点Q的坐标为Q (4,5)，Q (4+,5)，Q (42,1)，Q (4+2,1)．