Question

【题目】如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点是轴负半轴上的一点，且，点在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点，连接，当平分时，求点的坐标．

（3）直线交对称轴于点，是坐标平面内一点，请直接写出与全等时点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点的坐标为：，；（3）若与全等，点有四个，坐标为，，，．

【解析】

（1）用待定系数法，直接将代入解析式即可求解．

（2）由平分，平行即可求出，继而得出点坐标，由直线解析式即可求出与抛物线交点坐标即可．

（3）由三点的坐标可得三边长，由坐标可得和中，则另两组边对应相等即可，设点坐标为；利用两点间距离公式即列方程求解．

（1）抛物线经过，两点，

，

解得：，

抛物线的解析式为：．

（2）如图1，设对称轴与轴交于点，

平分，

，

又，

，

，

．

在中，，．

，

；．

①当时，直线解析式为：，

依题意得：．

解得：，，

点在对称轴右侧的抛物线上运动，

点纵坐标．

，

②当时，直线解析式为：，

同理可求：，

综上所述：点的坐标为：，，

（3）由题意可知：，，，

，

，

，

直线经过，，

直线解析式为，

抛物线对称轴为，而直线交对称轴于点，

坐标为；

，

设点坐标为，

则，

则，

，若与全等，有两种情况，

Ⅰ．，，即．

，

解得：，，

即点坐标为，．

Ⅱ．，，即．

，

解得：，，

即点坐标为，．

故若与全等，点有四个，坐标为，，，．