Question

如图，抛物线y=x²-2mx+n+1的顶点A在x轴负半轴上，与y轴交于点B，C是抛物线上一点，且点C的横坐标为1，AC=3

10

．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若D是抛物线上一点，直线BD经过第一、二、四象限，且原点O到直线BD的距离为

8 5

5

，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，直线BD上是否存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）过点C作CE⊥x轴于点E，如图，
∵抛物线上一点C的横坐标为1，
∴C（1，n-2m+2），
其中n-2m+2＞0，OE=1，CE=n-2m+2；
∵抛物线的顶点A在x轴负半轴上，
∴A（m，0），△=4m²-4（n+1）=0，得n=m²-1①，
其中m＜0，OA=-m，AE=OE+OA=1-m，
在Rt△ACE中，AC=3

10

，
∵AE²+CE²=AC²，
∴（1-m）²+（n-2m+2）²=（3

10

）²②，
把①代入②得[（m-1）²]²+（m-1）²-90=0，
∴[（m-1）²+10][（m-1）²-9]=0，
∴（m-1）²-9=0
∴m₁=4，m₂=-2，
∵m＜0，
∴m=-2．
把m=-2代入①，得n=4-1=3，
∴抛物线的关系式为y=x²+4x+4；
（2）设直线DB交x轴正半轴于点F，过点O作OM⊥DB于点M，如图，
∵点O到直线DB的距离为

8 5

5

，
∴OM=

8 5

5

，
而B点坐标为（0，4），
∴OB=4，
∴BM=

OB2-OM2

=

4 5

5

；
∵OB⊥OF，OM⊥BF，
∴△OBM∽△FOM，
∴

OM

BM

=

OF

BO

，即

OF

4

=

8 5 5

4 5 5

，
∴OF=8，
∴F点坐标为（8，0），
设直线DB的解析式为y=kx+b，
把F（8，0）、B（0，4）代入得

8k+b=0 b=4

，解得

k=- 1 2 b=4

，
∴直线DB的解析式为y=-

1

2

x+4，
解方程组

y=x2+4x+4 y=- 1 2 x+4

得

x=0 y=4

或

x=- 9 2 y= 25 4

，
∴D点坐标为（-

9

2

，

25

4

）；
（3）存在．理由如下：
∵OB=4，OF=8，
∴BF=

OB2+OF2

=4

5

，
∵y=（x+2）²，
∴A点坐标为（-2，0），
∴OA=2，
而OB=4，
∴AB=

OB2+OA2

=2

5

∴OA：OB=OB：OF，
∴△OAB∽△OBF，
∴∠AOB=∠OFB，
∴∠ABF=∠ABO+∠OBF=∠OFB+∠OBF=90°，
∴△ABF∽△AOB，
此时P₁在F点位置，符号要求，P₁点的坐标为（8，0）；
当△ABP₂∽△BOA时，
则BP₂：OA=AB：BO，即BP₂：2=2

5

：4，
∴BP₂=

5

，
过P₂作P₂H⊥x轴于H，如图，
∴OH：OF=BP₂：BF，即OH：8=

5

：4

5

，
∴OH=2，
把x=2代入y=-

1

2

x+4得y=-

1

2

×2+4=2，
∴P₂的坐标为（2，2）；
当△ABP₃∽△BOA时，同样得到BP₃=

5

，
∴P₃A⊥OA，
∴P₃的横坐标为-2，
把x=-2代入y=-

1

2

x+4得y=-

1

2

×（-2）+4=5，
∴P₃的坐标为（-2，6）；
当△ABP₄∽△AOB时，
则BP₄：OB=AB：AO，即BP₄：4=2

5

：2，
∴BP₄=4

5

，
过P₄作P₄Q⊥y轴于Q，如图，
易证得△P₄QB≌△FOB，
∴P₄Q=8，
把x=-8代入y=-

1

2

x+4得y=-

1

2

×（-8）+4=8，
∴P₄的坐标为（-8，8），
∴满足条件的P点坐标为（-8，8）、（-2，5）、（2，2）、（8，0）．