Question

点G是正方形ABCD边AB的中点，点E是射线BC上一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F，连接EG．

（1）若E为BC的中点（如图1）
①求证：△AEG≌△EFC；
②连接DF，DB，求证：DF⊥BD；
（2）若E是BC延长线上一点（如图2），则线段CF和BE之间存在怎样的数量关系，给出你的结论并证明．

Answer 1

（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABD=∠BDC=45°．
∵点G、E分别是AB、BC的中点，
∴AG=BG=

1

2

AB，BE=CE=

1

2

BC，
∴AG=BG=BE=CE．
∴∠BGE=45°，
∴∠AGE=135°．
∵CF平分∠DCN，
∴∠DCF=∠NCF=45°，
∴∠ECF=135°．
∴∠AGE=∠ECF．
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEN=90°．
∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在△AEG≌△EFC中，

∠AGE=∠ECF AG=EC ∠BAE=∠FEC

，
∴△AEG≌△EFC（ASA）
②作FN⊥BC于N，
∴∠FNC=90°，
∴∠ABE=∠ENF．
∵△AEG≌△EFC，
∴AE=EF．
在△ABE和△ENF中，

∠ABE=∠ENF ∠BAE=∠FEC AE=EF

，
∴△ABE≌△ENF（AAS），
∴FN=BE，
∵∠CFN=45°，
∴CF=

2

FN．
设AB=CD=AD=CD=2a，
∴BD=2

2

a，CF=

2

a，
∴

AB

BD

=

2

2

，

CF

CD

=

2

2

，
∴

AB

BD

=

CF

CD

，
∵∠ABD=∠FCD=45°，
∴△ABD∽△FCD，
∴∠ADB=∠FDC=45°，
∴∠BDF=90°，
∴DF⊥BD．
（2）CF=

2

BE．理由：
延长BA到M，使AM=CE，作FG⊥BC的延长线于G，
∴∠FGE=90°，
∴∠ABE=∠FGE．
在Rt△CFG中，由勾股定理．得
∴CF=

2

FG．
∴∠FGE=∠ABE．
∵∠AEF=90°，
∴∠FEG+∠AEB=90°．
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEG，
∴∠MAE=∠CEF．
∵AB=BC，
∴AB+AM=BC+CE，
即BM=BE．
∴∠M=45°，
∴∠M=∠FCE．
在△AME和△ECF中，

∠MAE=∠CEF AM=CE ∠M=∠FCE

，
∴AE=EF，∠MAE=∠CEF，
∴∠BAE=∠GEF
在△ABE和△CGF中，

∠BAE=∠GEF ∠ABE=∠FGE AE=EF

，
∴△ABE≌△CGF（AAS）
∴BE=FG，
∴CF=

2

BE．