Question

【题目】如图，中，，点是边上一点．以为圆心长为半径的⊙O与边相切于点，与边相交于点，连接交⊙O于点，连接．

（1）求证：．

（2）若⊙O的半径为．

①当的长为　　　　时，四边形为菱形；

②若．则的长为　　　　．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①；②

【解析】

（1）利用全等三角形的判定证明即可证明结论;

(2)①运用菱形的性质可得均为等边三角形，即可得出∠BOD的度数，即可求得的长；

②利用勾股定理求出CD的长度，再利用勾股定理列出方程，求解即可得出答案．

(1)∵⊙O与边相切于点,

∴∠ADO=90°,

∴∠ADO=∠ABO=90°,

又∵OB=OD，OA=OA,

∴,

∴∠AOB=∠AOD,

∴,

∴BE=ED．

（2）①∵四边形为菱形,

∴BE=BO=ED=OD,

∵OB=OE,

∴OB=OE=BE,OE=ED=OD,

∴均为等边三角形,

∴∠BOE=∠EOD=60°,

∴∠BOD=120°,

∴的长为,

∴的长为时，四边形为菱形．

故答案为：．

②设AD=x,

∵,

∴AB=AD=x,

在中，OC=3+2=5，OD=3,

∴CD=,

∴AC=x+4,

在Rt△ABC中，,

∴,

∴,

∴．

故答案为:6．