Question

【题目】如图，抛物线与轴交于，两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，当的周长最小时，点的坐标为．

【解析】

（1）直接利用待定系数求出二次函数解析式即可；
（2）首先求出直线BC的解析式，再利用轴对称求最短路线的方法得出答案.

（1）抛物线与轴交于两点

解得：

该抛物线的解析式为

（2）该抛物线的对称轴上存在点，使得的周长最小．

如解图所示，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，

交对称轴于点，连接，

点关于抛物线对称轴的对称点，且，交对称轴于点

，

的周长为，

为抛物线对称轴上一点，

的周长，

当点处在解图位置时，的周长最小．

在中，当时，，

，

，

抛物线的对称轴为直线，

点是点关于抛物线对称轴直线的对称点，且．

设过点两点的直线的解析式为：，

在直线上，

，解得：，

直线的解析式为：，

抛物线对称轴为直线，且直线与抛物线对称轴交于点，

在中，当时，，

，

在该抛物线的对称轴上存在点，使得的周长最小，当的周长最小时，点的坐标为