Question

【题目】问题探究：

小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使，连接BE，证明，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：（1）小红证明的判定定理是：__________________________________________；

（2）AD的取值范围是________________________；

方法运用：

（3）如图2，AD是的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使，求证：．

（4）如图3，在矩形ABCD中，，在BD上取一点F，以BF为斜边作，且，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）见解析

【解析】

（1）利用三角形的中线与辅助线条件，直接证明，从而可得证明全等的依据；

（2）利用全等三角形的性质得到求解的范围，从而可得答案；

（3）延长至点，使，证明，利用全等三角形的性质与，证明，得到，从而可得答案；

（4）延长至点使，连接、、，证明，得到，利用锐角三角函数证明，再证明，利用相似三角形的性质可得是直角三角形，从而可得答案．

解：（1）如图，AD是中线，

在与中，

故答案为：

（2）

故答案为：

（3）证明：延长至点，使，

∵是的中线

∴

在和中

∴，

∴，

又∵，

∵，

∴，

又∵，

∴

∴，

又∵

∴

（4）证明：延长至点使，连接、、

∵G为的中点

∴

在和中

∴

∴

在中，∵，

∴

又矩形中，

∴，

∴，

∴，

又，

∴，

∴，

又为的外角，

∴，

即，

∵，

∴，

∴，

即，

在和中，

∴，

又，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴是直角三角形，

∵G为的中点，

∴，

即．