Question

【题目】如图，半径为1的与轴交于两点，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点，与轴交于点，顶点为，直线与轴交于点.

(1)求二次函数的解析式.

(2)经过坐标原点的直线与相切，求直线的解析式.

(3)试问在轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)或；(3)存在，.

【解析】

（1）将点A，B的坐标代入函数表达式，解出b，c的值即可；

（2）设直线与相切于点，求出OE的长，过点作轴于点，可得比例式，可求出EH的长度，从而求出OH，即点E坐标，可得l的解析式，再根据两条直线关于x轴对称可得另一条直线的表达式；

（3）利用轴对称的应用，当△PMD的周长取最小值时，求出M点的坐标，设直线的

解析式为，根据点B的坐标求出BM解析式，得到点D坐标，可知点D与点C坐标关于x轴对称，连接，设直线的解析式为，将C，M的坐标代入，则CM与x轴交点即为点P的坐标.

解：(1)由题意可知，

二次函数的图象经过两点，

，

解得，

二次函数的解析式

(2)如图，设直线与相切于点，

过点作轴于点

，

，

，

的解析式为，

根据对称性，满足条件的另一条直线的解析式为，

所求直线的解析式为：或.

(3)存在

理由：为二次函数的顶点，

，

，

设直线的解析式为，

点坐标为，

，

解得，

直线的解析式为，

直线与轴交于点，

点坐标为，

点与关于轴对称，

连接，设直线的解析式为，

把代入得，

，

解得，

，

直线与轴的交点为，

.