Question

如图，将?OABC放置在平面直角坐标系xOy内，已知AB边所在直线的解析为：y=-x+4．
（1）点C的坐标是（______，______）；
（2）若将?OABC绕点O逆时针旋转90°得OBDE，BD交OC于点P，求△OBP的面积；
（3）在（2）的情形下，若再将四边形OBDE沿y轴正方向平移，设平移的距离为x（0≤x≤8），与?OABC重叠部分面积为S，试写出S关于x的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

解：（1）∵AB边所在直线的解析为：y=-x+4，
∴点A的坐标为：（4，0），点B的坐标为：（0，4），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=OA=4，BC∥OA，
∴点C的坐标为：（-4，4）；
故答案为：-4，4；

（2）由旋转的性质，可得：OD=OB=4，
∵∠BOD=90°，
∴∠OBD=45°，
∵OB=BC，∠OBC=90°，
∴∠BOC=45°，
∴∠OPB=90°，BP=OP，
∵OB=4，
∴OP=BP=2，
∴S_△OBP=OP•BP=4；


（3）①如图1：当0≤x＜4时，
∵OF=GB=x，
∴S_△OFK=x²，S_△HBG=x²．
∵S_△OPG=（x+4）²，
∴S_{五边形KFBHP}=（x+4）²-x²-x²=-x²+2x+4=-（x-2）²+6．
当x=2时，S_max=f（2）=6；
②当4≤x≤8时，
∵HB=FB=x-4，
∴CH=8-x，
∴S_△CPH=（8-x）²．
当x=4时，S_max=f（4）=4．
∴当x=2时，S取得最大值为6．
分析：（1）由AB边所在直线的解析为：y=-x+4，即可求得点A与B的坐标，又由四边形OABC是平行四边形，即可求得BC=OA=4，则可求得点C的坐标；
（2）易证得△OBP是等腰直角三角形，又由BO=4，即可求得△OBP的面积；
（3）分别从当0≤x＜4时与当4≤x≤8时去分析求解即可求得答案．
点评：此题属于一次函数的综合题，考查了一次函数的性质、二次函数的最值问题、平行四边形的性质、旋转的性质以及平移的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．