Question

8．如图，已知抛物线y=x²-2x+m交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C点，且OB=OC，连接BC，
（1）直接写出m的值和B，C两点的坐标；
（2）P点在直线BC下方的抛物线上，△BCP的面积为S，求S最大时，P的坐标；
（3）抛物线的对称轴交抛物线于D点，交x轴于E点，在抛物线上是否存在点M，过M点作MN⊥BD于N点，使△DMN与△BDE相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用OB=OC进而表示出B点坐标，进而求出即可；
（2）首先求出BC的解析式，进而利用配方法求出抛物线的顶点坐标得出答案；
（3）分别利用①若M在对称轴左边的抛物线上，②若M在对称轴右边的抛物线上，求出M点坐标即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²-2x+m交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C点，且OB=OC，
∴CO=-m，BO=-m，
则B点坐标为：（-m，0），
将B点坐标代入y=x²-2x+m得：
0=m²+2m+m，
解得：m₁=-3，m₂=0（不合题意舍去），
则B（3，0），C（0，-3）；

（2）抛物线y=x²-2x-3，设直线BC的解析式为y=kx+b，
由$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
设P（x，y），则
 S=$\frac{1}{2}$×3[（x-3）-（x²-2x-3）]
=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x，
=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴y=（$\frac{3}{2}$）²-2×$\frac{3}{2}$-3=-$\frac{15}{4}$，
∴P的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）；

（3）存在．D（1，-4），
①如图，若M在对称轴左边的抛物线上，记为M₁，M₁N₁⊥BD于N₁，
当△M₁DN₁∽△DBE时，∠M₁DN₁=∠DBE
延长DM₁交x轴于G点，则DG=BG，
设G点坐标为（x，0），BG=x+3
由勾股定理得DG=$\sqrt{D{E}^{2}+G{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（x+1）^{2}}$，
∴x+3=$\sqrt{{4}^{2}+（x+1）^{2}}$，
解得，x=2，
∴G点坐标为（-2，0），
可得直线DG的解析式为：y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{8}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x-\frac{8}{3}}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=-4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{1}{3}}\\{{y}_{2}=-\frac{20}{9}}\end{array}\right.$
∴M₁的坐标为：（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{20}{9}$）；
②如图，若M在对称轴右边的抛物线上，记为M₂，M₂N₂⊥BD于N₂，
当BH⊥x轴于点B，BH=DH，
设BH=x，则DH=x，故（4-x）²+2²=x²，
解得：x=$\frac{5}{2}$，
则H（3，-$\frac{5}{2}$），
可得直线DH的解析式为：y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{19}{4}$，
故$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-\frac{19}{4}}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=-4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{7}{4}}\\{{y}_{2}=-\frac{55}{16}}\end{array}\right.$
可得M₂的坐标为（$\frac{7}{4}$，-$\frac{55}{16}$），
综上所述：M点的坐标为：（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{20}{9}$）或（$\frac{7}{4}$，-$\frac{55}{16}$）．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论的思想得出M点坐标是解题关键．