Question

【题目】如图，在中，，.

（1）如图1，若直线与相交于，过点作于，连接并延长至，使得，过点作于，证明：.

（2）如图2，若直线与的延长线相交于，过点作于，连接并延长至，使得，过点作交的延长线于，探究：、、之间的数量关系，并证明.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）AD+BD=EF,证明见解析

【解析】

（1）根据△ABC为等腰直角三角形，把△ABD逆时针旋转90°至△ACG，得到BD=GC，再延长GC交DE于H点，根据AD⊥BE可证四边形ADHG为正方形，得到AD=GH，再证明△DEF≌△DCH，得到EF=CH,则可证明；

（2）作CM⊥DA,先证明△DEF≌△CDM，得到EF=DM,再证明△ADB≌△CMA，得到BD=AM，根据AD+AM=DM=EF即可求解.

（1）如图，∵，.

∴△ABC为等腰直角三角形，

把△ABD逆时针旋转90°至△ACG，

∴BD=CG，

延长GC交DE于H点，

∵AD⊥BE，∠DAG=90°=∠AGC，AD=AG,

∴四边形ADHG为正方形，

故∠DHC=90°，

∴AD=GH，

∵，，∠EDF=∠CDH

∴△DEF≌△DCH，

∴EF=CH,

∴；

（2）AD+BD=EF,理由如下：

如图，作CM⊥DA，

∵AD⊥BE，

∴∠1+∠2=90°，

∵∠DCM+∠2=90°

∴∠1=∠DCM

∵∠F=∠DMC=90°，DE=DC

∴△DEF≌△CDM，

∴EF=DM,

∵.

∴∠DAB+∠MAC=90°，

又∠DAB+∠DBA=90°

∴∠MAC=∠DBA

又AB=AC

∴△ADB≌△CMA，

∴BD=AM，

∴AD+BD=AD+AM=DM=EF

即AD+BD=EF,