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    精英家教网（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）．设计了如下方案：
    （Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
    （Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
    （1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；
    （2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行？请说明理由．
    分析：（1）方案（Ⅰ）中判定PM=PN并不能判断P就是∠AOB的角平分线，关键是缺少△OPM≌△OPN的条件，只有“边边”的条件；
    方案（Ⅱ）中△OPM和△OPN是全等三角形（三边相等），则∠MOP=∠NOP，所以OP为∠AOB的角平分线；
    （2）可行．此时△OPM和△OPN都是直角三角形，可以利用HL证明它们全等，然后利用全等三角形的性质即可证明OP为∠AOB的角平分线．
    解答：解：（1）方案（Ⅰ）不可行．缺少证明三角形全等的条件，
    ∵只有OP=OP，PM=PN不能判断△OPM≌△OPN；
    ∴就不能判定OP就是∠AOB的平分线；
    方案（Ⅱ）可行．
    证明：在△OPM和△OPN中，
    OM=ON
    PM=PN
    OP=OP
    ，
    ∴△OPM≌△OPN（SSS），
    ∴∠AOP=∠BOP（全等三角形对应角相等）；
    ∴OP就是∠AOB的平分线．
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    （2）当∠AOB是直角时，此方案可行；
    ∵四边形内角和为360°，∠OMP=∠ONP=90°，∠MPN=90°，
    ∴∠AOB=90°，
    ∵PM=PN，
    ∴OP为∠AOB的平分线．（到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上），
    当∠AOB不为直角时，此方案不可行；
    因为∠AOB必为90°，如果不是90°，则不能找到同时使PM⊥OA，PN⊥OB的点P的位置．
    点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，是一个开放性试题，可以提高学生解决实际的能力．
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    （Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，若将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同刻度的点与M、N重合，即PM=PN，则过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
    （1）方案（Ⅰ）是否可行？答：
    不行
    不行
    （填“行”或“不行”）；
    （2）方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由．
    （3）在活动过程中，小明说：“若设∠AOB=60°，自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB=1：3，那么射线OC与∠AOB的平分线所成角的度数是多少呢？”请你通过求解告诉小明．

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    （Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，若将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同刻度的点与M、N重合，即PM=PN，则过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
    （1）方案（Ⅰ）是否可行？答：______（填“行”或“不行”）；
    （2）方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由．
    （3）在活动过程中，小明说：“若设∠AOB=60°，自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB=1：3，那么射线OC与∠AOB的平分线所成角的度数是多少呢？”请你通过求解告诉小明．

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