[题目]四边形ABCD是正方形.△BEF是等腰直角三角形.∠BEF＝90°.BE＝EF.连接DF.G为DF的中点.连接EG.CG.EC．(1)问题发现:如图1.若点E在CB的延长线上.直接写出EG与GC的位置关系及的值,(1)操作探究:将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置.请问(1)中所得的结论是否仍然成立?若成立.请写出证明过程,若不成� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF＝90°，BE＝EF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC．

（1）问题发现：如图1，若点E在CB的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及的值；

（1）操作探究：将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

（2）解决问题：将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转，若BE＝1，AB＝，当E，F，D三点共线时，请直接写出CE的长．

【答案】（1），；（2）成立，理由见解析；（3）或

【解析】

（1）过G作GH⊥EC于H，推出EF∥GH∥DC，求出H为EC中点，根据梯形的中位线求出EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），推出GH=EH=BC，根据直角三角形的判定推出△EGC是等腰直角三角形即可．

（2）延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，证△EFG≌△HDG，推出DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，求出∠EBC=∠HDC，证出△EBC≌△HDC，推出CE=CH，∠BCE=∠DCH，求出△ECH是等腰直角三角形，即可得出答案．

（3）分类讨论，画出图形,根据勾股定理，即可求出EC的长度．

（1）EG⊥CG，，理由是：

如图1，过G作GH⊥EC于H，

∵∠FEB=∠DCB=90°，∴EF∥GH∥DC．

∵G为DF中点，∴H为EC中点．

∴EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），即GH=EH=BC．

∴∠EGC=90°，即△EGC是等腰直角三角形．

∴

（2）结论还成立，理由是：

如图2，延长到，使，连接、，

∵在和中

∴，

∴，，

∵

∴

∵

∴

在和中

∴．

∴，，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∵为的中点，

∴，，即（1）中的结论仍然成立；

（3）或理由如下：

当△BEF在BC的上方时，连接BD，CE

∵在正方形ABCD，AB=AD=，

∴BD=．

∴DE=

∴DF=DE-EF=．

由（1）可知∠EGC=90°

∴CG⊥FD

∵G为FD中点

∴CG垂直平分FD

∴

在Rt△DGC中,

在Rt△ECG中,

当△BEF在BC的上方时，连接BD，CE

在正方形ABCD中，，∠ABC=90°

∴∠EBC=90°

在Rt△EBC中，

故EC的长为或

故答案为: 或

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