Question

【题目】如图，在中，以为直径的经过点过点作的切线点是上不与点重合的一个动点，连接．

求证:；

填空:

当_ 时，为等腰直角三角形:

当 时，四边形为菱形．

Answer 1

【答案】见解析；①45°②120°

【解析】

（1）连接OC．根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC，根据平行线的性质得到∠ACB＝90°．再根据切线的性质定理及圆周角定理即可得到结论；

（2）①根据圆的对称性由BD＝AD可得弧BD＝弧AD，再由圆周角定理得∠DCB＝∠DCA，进而得解；

②由菱形可得OD＝AD，结合OD＝OA，证得△OAD为等边三角形，则∠OAD＝60°，最后根据圆周角定理即可得解．

解：如图，连接

为的直径，

，

是的切线，

（2）①∵为等腰直角三角形，

∴AD＝DB，

∴弧AD＝弧DB，

∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB，

∵∠ACB＝90°，

∴∠DCB＝45°，

②∵四边形为菱形，

∴OD＝AD，

又∵OD＝OA，

∴OD＝OA＝AD，

∴△AOD为等边三角形，

∴∠OAD＝60°，

∵∠OAD＝∠DOB，

∴∠DOB＝120°．