Question

8．如图，在Rt△AOB中，O为坐标原点，∠AOB=90°，∠B=30°．若点A在反比例函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象上运动，点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞O）的图象上运动，则k=-6．

Answer 1

分析 如图分别过A、B作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D．设A（a，b），则ab=1．根据两角对应相等的两三角形相似，得出△OAC∽△BOD，由相似三角形的对应边成比例，则BD、OD都可用含a、b的代数式表示，从而求出BD•OD的积，进而得出结果．

解答 解：分别过A、B作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D．设A（a，b）．
∵点A在反比例函数y=y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象上，
∴ab=2．
在△OAC与△BOD中，∠AOC=90°-∠BOD=∠OBD，∠OCA=∠BDO=90°，
∴△OAC∽△BOD，
∴OC：BD=AC：OD=OA：OB，
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠B=30°，
∴OA：OB=1：$\sqrt{3}$，
∴b：BD=a：OD=1：$\sqrt{3}$，
∴BD=$\sqrt{3}$b，OD=$\sqrt{3}$a，
∴BD•OD=3ab=6，
又∵点B在第四象限，
∴k=-6．
故答案为：-6．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特点等知识，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．